1、江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编7：立体几何姓名_班级_学号_分数_一、填空题 （南京九中2013届高三第二学期二模模拟）圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 . （江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）若圆锥的母线长为cm，底面圆的周长为cm，则圆锥的体积为 . （江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为 cm （盱眙县新马中学2013届高三
2、下学期期初检测数学试题）正四面体中,分别是棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为_ （江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为_. （江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）正四面体ABCD中,AO平面BCD,垂足为,设是线段上一点,且是直角,则的值为_. （江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是_. （江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）已知正六棱锥的底面边长为1,侧面积为3,则该棱锥的体积为_. （江苏
3、省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学）用一个与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为,则球的体积为_.（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,AMC1的面积为_.（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）如图,二面角的大小是60,线段.,AB与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是_.（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）如图是 一正方体的表面展开图,B、N、Q都是所在棱的中点则在原正方体中,AB与CD相
4、交;MNPQ;ABPE;MN与CD异面;MN平面PQC.所给关系判断正确的是_ （江苏省金湖中学2013届高三下学期期初检测数学试题）右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积为_.（江苏省金湖中学2013届高三下学期期初检测数学试题）某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是_. （江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）设为两个不重合的平面,为两条不重合的直线,给出下列的四个命题:(1)若,则;(2)若与相交且不垂直,则与不垂直(3)若则(4)若则其中,所有真命题的序号是_. （2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ）已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积
5、为_.二、解答题（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AEBE；（2）求三棱锥DAEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAEBCADEFM（南通市2013届高三第二次调研测试数学试题）如图，在三棱柱中，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为（第22题）BACA1B1C1（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，E、F分别是的中点（1）证明
6、：平面平面；（2）证明：平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积ABCEFP（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）如图，平行四边形中，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.求证： 平面；求证： 平面.（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面，BC/平面PAD，,求证：（1）平面；（2）平面平面ABCP（第16题）D（盱眙县新马中学2013届高三下学期期初检测数学试题）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面A1B1C1,B1A1C1=90,D、E分别为CC1和A1B1的中点,且
7、A1A=AC=2AB=2.(I)求证:C1E平面A1BD;()求点C1到平面A1BD的距离.（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）如图,在四棱柱中,已知平面平面且,.(1)求证:(2)若为棱的中点,求证:平面.第16题图（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）在直三棱柱中,=2 ,.点分别是 ,的中点,是棱上的动点.(I)求证:平面;(II)若/平面,试确定点的位置,并给出证明;（江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）如图,在四棱锥中,为的中点.求证:(1)平面;(2)平面.D CB AE P（第16题图）目（江苏省盐城市201
8、3届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值.（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E为的PC中点.求证:PA平面BDE;求证:平面PBC平面PDC.（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）如图,已知直四棱柱,底面为菱形,为线段的中点,为线段的中点. ()求证:平面;()当的比值为多少时,平面,并说明理由.（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学）如图,已知中,斜边上的高,
9、以为折痕,将折起,使为直角.(1)求证:平面平面;(2)求证:(3)求点到平面的距离.（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学）如图,长方体中,为的中点(1)求点到面的距离;(2)设的重心为,问是否存在实数,使 得且同时成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（二）（数学）如图,在直三棱柱中,.(1)若,求证:平面;(2)若,是棱上的一动点.试确定点的位置,使点到平面的距离等于.（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）如图, 是边长为的正方形,平面,与平面所成角为.(1)求证:平面;(2)设点是线段上一个动点,试确定点
10、的位置,使得平面,并证明你的结论.ABCDFE（江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）【必做题】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小;(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值. （江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD面ABCD,ADBC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点. (1)求证:AB面P
11、AD;(2)求证:EF面PAD. （江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）如图,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,MN分别是CC1BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足.(1)证明:PNAM;(2)若平面PMN与平面ABC所成的角为45,试确定点P的位置.（江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）在三棱柱中,已知底面是边长为的正三角形,侧棱,点分别为边的中点,底面.()求证:线段DE平面;()求证:FO平面.（江苏省涟水县金城外国语学校2013届高三下学期期初检测数学试题）如图,菱形的边长为,.将菱形
12、沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.()求证:平面;()求证:平面平面;(III)求三棱锥的体积.（江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题）如图,在棱长为3的正方体中,.求两条异面直线与所成角的余弦值;求直线与平面所成角的正弦值.（江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题）如图,在四棱柱中,已知平面平面且,.(1)求证:(2)若为棱上的一点,且平面,求线段的长度第16题图（江苏省淮阴中学2013届高三下学期期初检测数学试题）已知四棱锥中,底面是边长为的菱形,.(I)求证:;(II)设与交于点,为中点,若二面角的正切值为,求
13、的值.（江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,底面ABCD为菱形,BAD=60,P为AB的中点,Q为CD1的中点.(1)求证:DP平面A1ABB1; (2)求证:PQ平面ADD1A1.B1ABCDQPA1C1D1（江苏省洪泽中学2013届高三下学期期初考试数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AB/CD,ABAD,AD=CD=2AB=2.侧面为正三角形,且平面PAD平面ABCD. (1)若M为PC上一动点,则M在何位置时,PC平面MDB?并加已证明;(2)若G为的重心,求二面角G-BD-C大小.A
14、 B C D P （2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ）如图所示:是底面为正方形的长方体,点是的中点,求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)C.A1BB1C1D1DAP江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编7：立体几何参考答案一、填空题 . 【答案】 1 (3)(4) 二、解答题解 （1）AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC 又BF平面ACE，AEBF，AE平面BCE又BE平面BCE，AEBE（2） （3）在三角形ABE中，过M点作MGAE交BE于G点，在三角形BEC中，过G点作GNBC交EC于N点，连MN，则由比例关系易得
15、CN MGAE，MG平面ADE, AE平面ADE，MG平面ADE，同理，GN平面ADE，平面MGN平面ADE又MN平面MGN，MN平面ADE，N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点 【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）P为棱中点，设，则设平面的法向量为n1，则故n18分而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，解得，即P为棱中点，其坐标为10分 （1）证明：在，AC=2BC=4, ，由已知， 又 5分（2）证明：取AC的中点M，连结在,而，直线FM/平面ABE在矩形中，E、M都是中点，而，直线又 故 10分（或解：取A
16、B的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）（3）取的中点，连结，则且，由（1），P是BE的中点，14分证明：是的交点，是中点，又是的中点，中， -3分 ，又平面 -6分平面平面，交线为， ，平面， -10分，又， -12分 【证】（1）因为BC/平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD = AD，所以BC/AD 3分因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以平面6分ABCPDH（2）自P作PHAB于H，因为平面平面，且平面平面=AB，所以平面9分因为BC平面ABCD，所以BCPH因为,所以BCPB，而，于是点H与B不重合，即PBPH = H因为PB，PH平面PAB，所以BC
17、平面PAB12分因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB 14分 ()证明:取中点F,连结EF,FD. ,又, 平行且等于 所以为平行四边形, ,又平面, 平面 (), 所以, , 及, . 所以点到平面的距离为 在四边形中,因为,所以, 又平面平面,且平面平面, 平面,所以平面, 又因为平面,所以 在三角形中,因为,且为中点,所以, 又因为在四边形中, 所以,所以,所以, 因为平面,平面,所以平面 (I) 证明:在直三棱柱中,点是的中点, , 平面 平面 ,即 又 平面 (II)当是棱的中点时,/平面 证明如下: 连结,取的中点H,连接, 则为的中位线 , 由已知条件,为正方形 , 为的中
18、点, ,且 四边形为平行四边形 又 /平面 14 证明:(1)取中点,连结,为中点,且=.且,且=.四边形为平行四边形. . 平面,平面, 平面. (2),平面.平面,. ,为的中点,.,平面. FPEABCD（第16题图） 解:取BC中点O,连AO,为正三角形, , 在正三棱柱中,平面ABC平面,平面, 取中点为,以O为原点,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则., ,. ,面 (2)设平面的法向量为,. ,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面, 为平面的法向量, 二面角的余弦值为 证明(1)连接交于,连接 四边形是菱形, 是中点, 又为中点. 又,平面 (2)在中,易得, 在中可
19、求得,同理在中可求得 在中可得,即 又,为中点, 面,又面平面平面 ()证明:连接,由题意可知点为的中点.因为点为的中点. 在中, 又面, ()当时, 四边形为菱形,且,. 四棱柱为直四棱柱,四边形为矩形. 又, 四边形为正方形, 在直四棱柱中, 四边形为菱形,. ,. ,又, , (1)证明: 又 为等腰 (3) 平面ADE,过D点作则 平面ABC BACDBCADME D点到平面ABC的距离为. 解:(1) 面 面 面 取的中点H 面 面 面 AH为点A到面的距离 AH=1 点A到面的距离为1 (2) ,过点作 ,且 故存在实数,使得,且同时成立. (1)证明:当,可知, . 又,且,平面
20、. 而平面,. 由平面. (2)设B到平面的距离等于H,则,. 所以,当点为棱的中点时,点到平面的距离等于. ABCDFE(1)证明:因为平面, 所以 因为是正方形, 所以,因为 从而平面 (2)当M是BD的一个三等分点,即3BM=BD时,AM平面BEF 取BE上的三等分点N,使3BN=BE,连结MN,NF,则DEMN,且DE=3MN, 因为AFDE,且DE=3AF,所以AFMN,且AF=MN, 故四边形AMNF是平行四边形 所以AMFN, 因为AM平面BEF,FN平面BEF, 所以AM平面BEF 解:(1)建立直角坐标系,则,从而, 记与的夹角为,则有 . 又由异面直线与所成角的范围为,可得
21、异面直线与所成的角为60 (2)记平面和平面的法向量分别为n和m,则由题设可令,且有平面的法向量为, ,. 由,得;由,得. 所以,即 记平面与平面所成的角为,有. 由题意可知为锐角,所以 证明:(1)因为PD面ABCD, 所以PDAB 在平面ABCD中,D作DM/AB,则由AB=12得 DM=12. 又BC=10,AD=BC,则AD=5,从而CM=5. 于是在CDM中,CD=13,DM=12,CM=5,则由及勾股定理逆定理得DMBC . 又DM/AB,BC/AD,所以ADAB. 又PDAD=D,所以AB面PAD (2)证法一 取AB的中点N,连结EN、FN. 因为点E是棱PB的中点,所以在A
22、BP中,EN/PA. 又PA面PAD,所以EN/面PAD 因为点F分别是边CD的中点,所以在梯形ABCD中,FN/AD. 又AD面PAD,所以FN/面PAD 又ENFN=N,PADA=A,所以面EFN/面PAD 又EF面EFN,则EF/面PAD 证法二 延长CD,BA交于点G. 连接PG,EG,EG与PA交于点Q. 由题设ADBC,且AD= BC,所以CD=DG,BA =AG,即点A为BG的中点. 又因为点E为棱PB的中点,所以EA为BPG的中位线,即EAPG,且EA:PG=1:2,故有EA:PG=EQ:QG=1:2 又F是边CD的中点,并由CD=DG,则有FD:DG =1:2 在GFE中,由
23、于EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以EFDQ. 又EF面PAD,而DQ面PAD,所以EF面PAD 解:(1)证明:如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.则P(,0,1),N(,0),M(0,1,), 从而=(-,-1),=(0,1,),=(-)0+1-1=0,所以PNAM (2)平面ABC的一个法向量为n=(0, 0, 1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),由(1)得=(,-1,).由 解得 平面PMN与平面ABC所成的二面角为45,|cos|=|=,解得=- 故点P在B1A1的延长线上,且|A1P|= ()因为平面为平行四边行,
24、所以共线, , 又 ()因为是边长这的正三角形,所以. 又底面,所以, 又,所以. 又F为的中点,所以 又平面, 所以平面 证明:()因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线, 因为平面,平面,所以平面 ()由题意, 因为,所以,. ABCMOD又因为菱形,所以. 因为,所以平面, 因为平面,所以平面平面. ()三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 由()知,平面,所以为三棱锥的高,且. 的面积为. 所求体积等于 解:(1)以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示: 则 则两条异面直线与所成角的余弦值为 (2) 易知平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为, 则 (1)
25、 (2) 解:(I)因为PA平面ABCD,所以PABD 又ABCD为菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC 从而平面PBD平面PAC (II)过O作OHPM交PM于H,连HD 因为DO平面PAC,可以推出DHPM,所以OHD为A-PM-D的平面角 又,且 从而 所以,即. 法二:如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系,则, 从而 因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为. 设平面PMD的法向量为,由得 取,即 设与的夹角为,则二面角大小与相等 从而,得 从而,即. B1ABCDQPA1C1D1解:略 (1)当M为PC的中点时,PC平面MDB. 事实上,连BM,DM,取AD的中点N,连NB,NP. 因为,且平面PAD平面ABCD,所以PN平面ABCD. 在中,所以,又 所以,又,平面MDB, 而PD=DC=2,所以,所以平面MDB- (2)易知G在中线BM上,过M作于F,连CF, 因为平面MDB,所以, 故是二面角GBDC的平面角 在中,所以,又 所以,故二面角GBDC的大小为 来源:学科网ZXXK 解:过点P作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角. 在中 , .又. 在中, 异面直线与所成的角为.
