1、练典型习题提数学素养A组夯基保分专练1(2019重庆市七校联合考试)如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，AA1平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点(1)求证：AE平面A1BD；(2)求二面角DBEB1的余弦值解：(1)证明：因为ABBCCA，D是AC的中点，所以BDAC，因为AA1平面ABC，所以平面AA1C1C平面ABC，所以BD平面AA1C1C，所以BDAE.又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，所以A1DAE.又A1DBDD，所以AE平面A1BD.(2)以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线，以该垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角
2、坐标系，则D(0，0，0)，E(1，1，0)，B(0，0，)，B1(0，2，)，(0，0，)，(1，1，0)，(0，2，0)，(1，1，)，设平面DBE的法向量为m(x，y，z)，则，即，令x1，则m(1，1，0)，设平面BB1E的法向量为n(a，b，c)，则，即，令c，则n(3，0，)，设二面角DBEB1的平面角为，观察可知为钝角，因为cosm，n，所以cos ，故二面角DBEB1的余弦值为.2(2019成都第一次诊断性检测)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC，PA平面ABCD，点M是棱PC的中点(1)证明：PA平面BMD；(2)当PA时，求直线AM与平面PBC所成
3、角的正弦值解：(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，连接MO.因为M，O分别为PC，AC的中点，所以PAMO.因为PA平面BMD，MO平面BMD，所以PA平面BMD.(2)如图2，取线段BC的中点H，连接AH.因为四边形ABCD为菱形，ABC，所以AHAD.以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(，1，0)，P(0，0，)，M(，)，所以(，)，(0，2，0)，(，1，)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，由得，取z1，m(1，0，1)设直线AM与平面PBC所成角为，则sin |cosm，|
4、.所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.3. (2019高考天津卷)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解：依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)设CFh(h0)，则F(1，2，h)(1)证明：依题意，(1，0，0)是平面ADE的法向量，又(0，2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE
5、，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1，1，0)，(1，0，2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2，2，1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m(1，1，)由题意，有|cosm，n|，解得h，经检验，符合题意所以，线段CF的长为.4(2019东北四市联合体模拟(一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求二面角APEC的余弦值
6、解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，因为ABCE，ABCE，所以四边形ABCE为平行四边形，所以AEBCADDE，所以ADE为等边三角形，所以在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，所以BDAE.翻折后可得OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，所以AE平面POB，因为PB平面POB，所以AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，所以OP平面ABCE.以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题
7、意得，P，E，C，所以，设平面PCE的法向量为n1(x，y，z)，则，即，设x，则y1，z1，所以n1(，1，1)为平面PCE的一个法向量，易知平面PAE的一个法向量为n2(0，1，0)，cosn1，n2.由图知所求二面角APEC为钝角，所以二面角APEC的余弦值为.B组大题增分专练1(2019高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解：法一：(1)证明：如图，连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC
8、.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形连接A1G交EF于O，由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O为A1G的中点，故EOOG，所以
9、cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.法二：(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)，B1(，3，2)，F(，2)，C(0，2，0)因此，(，1，0)由0得EFBC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1，0)，(0，2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n
10、(1，1)故sin |cos，n|.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.2(2019长沙市统一模拟考试)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCF90，AD，BE3，CF4，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？解：因为平面ABCD平面BEFC，平面ABCD平面BEFCBC，DC平面ABCD，且DCBC，所以DC平面BEFC.以点C为坐标原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设ABa，则C(0，0，0)，A(，0，a)，B(，0，0)，E(，3，0)，F
11、(0，4，0)，D(0，0，a)(1)证明：因为(0，3，a)，(，0，0)，(0，4，0)，(0，0，a)，所以0，0，又CDCFC，所以CB平面CDF，即为平面CDF的一个法向量又0，所以CBAE，又AE平面CDF，所以AE平面DCF.(2)设n(x，y，z)与平面AEF垂直，(0，3，a)，(，1，0)，由，得，取x1，则n.BA平面BEFC，(0，0，a)，由|cosn，|，得a.所以当AB时，二面角AEFC的大小为60.3(2019江西八所重点中学联考)如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB2，BC2，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC
12、的中点(1)已知G为线段FC的中点，证明：BG平面AEF；(2)若二面角FBDC的大小为，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值解：(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接GH，则GH为ACF的中位线，所以GHAF.因为GH平面AEF，AF平面AEF，所以GH平面AEF.又BDEF，BD平面AEF，EF平面AEF，所以BD平面AEF.连接DG，因为BDGHH，BD平面BDG，GH平面BDG，所以平面BDG平面AEF，因为BG平面BDG，所以BG平面AEF.(2)取BC的中点O，AD的中点M，连接OF，OM，则OF平面ABCD，OMBC，以O为坐标原点，OC，OM，OF所在的直线分别为x，y，
13、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，所以(2，2，0)设OFa(a0)，则F(0，0，a)，所以(1，0，a)设平面BDEF的法向量为n1(x，y，z)，由，得，令xa，得n1(a，a，)易得平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)因为二面角FBDC的大小为，所以|cosn1，n2|，解得a.设直线AE与平面BDEF所成的角为，因为(2，0，0)，且n1，所以sin |cos，n1|.故直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为.4(2019湖南省湘东六校联考)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段A
14、D上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明：直线BC平面OEF.(2)在线段DF上是否存在一点M，使得二面角MOED的余弦值是？若不存在，请说明理由；若存在，请求出M点所在的位置解：(1)证明：依题意，在平面ADFC中，CAOFOD60，所以ACOF，又OF平面OEF，所以AC平面OEF.在平面ABED中，BAOEOD60，所以ABOE，又OE平面OEF，所以AB平面OEF.因为ABACA，AB平面OEF，AC平面OEF，AB平面ABC，AC平面ABC，所以平面ABC平面OEF.又BC平面ABC，所以直线BC平面OEF.(2)设OD的中点为G，如图，连接GE，GF，由题意可得GE，GD，GF两两垂直，以G为坐标原点，GE，GD，GF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知，O(0，1，0)，E(，0，0)，F(0，0，)，D(0，1，0)假设在线段DF上存在一点M，使得二面角MOED的余弦值是，设，0，1，则M(0，1，)，(0，2，)设n(x，y，z)为平面MOE的法向量，由得，可取x，则y，z2，n(，2)又平面OED的一个法向量m(0，0，1)，所以|cosm，n|，所以(21)(1)0，又0，1，所以.所以存在满足条件的点M，M为DF的中点
