1、模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知在等比数列an中，a54，a8，则公比q()A2 B2 C DC因为an为等比数列，a54，a8，所以a8a5q3，即4q3，解得q故选C2设正弦函数ysin x在x0和x附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为()Ak1k2Bk1k23已知函数f(x)x22f(1)ln x，则曲线yf(x)在x1处的切线斜率为()A1 B2 C1 D2Df(x)2x，令x1得f(1)212f(1)，所以f(1)2即曲线yf(x)在x1处的
2、切线斜率k2，故选D4已知an是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9的值是()A24 B27 C30 D33D根据等差数列的性质可知a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9也成等差数列，故a3a6a92394533故选D5等比数列an满足a28a50，设Sn是数列的前n项和，则()A11 B8 C5 D11A由a28a50得a1q8a1q40，解得q易知是等比数列，公比为2，首项为，所以S2，S5，所以11，故选A6函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()ABCDD观察导函数f(x)的图像可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于
3、0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确，故选D7已知数列an的前n项和Sn2n23n(nN*)，若pq5，则apaq等于()A10 B15 C5 D20D因为Sn2n23n(nN*)，所以anSnSn14n5(n2)又a1S11，适合上式，所以数列an的通项公式为an4n5(nN*)于是apaq4(pq)20故选D8设函数f(x)aln xbx2，若函数f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为yx，
4、则函数yf(x)的增区间为()A(0，1)BCDCf(x)aln xbx2的定义域为(0，)，f(x)2bx，函数f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为yx，解得f(x)2x，欲求yf(x)的增区间，只需f(x)2x0，解得：x，即函数yf(x)的增区间为，故选C二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么()2412mxyzAx1ByCzDm5ABC由表格知，第三列为首项为4，公比为的等比数列，x1根据
5、每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，故第四列所成的等比数列的公比为，y5，同理z6，故选ABC10如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则()A在x2时，函数yf(x)取得极值B在x1时，函数yf(x)取得极值Cyf(x)的图像在x0处切线的斜率小于零D函数yf(x)在区间上单调递增AD由图可知，x2是导函数f(x)的一个变号零点，故当x2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；x1不是导函数f(x)的一个变号零点，故当x1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；yf(x)的图像在x0处的切线斜率为f(x)0，选项C错误；当x(2，2)时，f(x)0，此时函数yf(x)单调递增，
6、选项D正确故选AD11设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S2 0200，S2 021|a1 011|Ca1 0110D数列中绝对值最小的项为a1 011ABDS2 0200，S2 0210，2 021a1 0110，a1 0110，a1 011|a1 011|，故A，B都正确，C错误，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a1 011，故D正确故选ABD12如果定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”，下列函数是“H函数”的有()Ayex1By3x2(sin xcos
7、 x)Cyx33x23x1Dy ABC对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，不等式等价为(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数对于A：yex1满足函数定义在R上的增函数，故是“H函数”，故A正确对于B：y3x2(sin xcos x)，所以y32(cos xsin x)32sin0，函数单调递增，满足条件，故B正确对于C：yx33x23x1，所以y3x26x33(x1)20，所以yx33x23x1在定义域上单调递增，故C正确；对于D：y ，即y ，所以y当x0时，函数单调递增，当xx6的正整
8、数解，则n的最小值为_9设n是不等式log21)x(1)xx6的正整数解，log2(1)n(1)n n6，即 (1)n(1)n2n6， 26，即an，则a，又an单调递增，且a2120，若关于x的方程F(x)f(0，a，0)有三个不同的实根，则a_(本题第一空2分，第二空3分)2xy08令F1(x)f(1，2，0)x22x，F2(x)f(1，2，0)x22x，F1(x)2x2在R上单调递增，F2(x)2x2在R上单调递减，由F1(x)和F2(x)可得F1(0)F2(0)0，且F1(0)F2(0)2，即两函数有一个公共点，两曲线有过该点的公切线，公切线方程为y2x，即2xy0F(x) ，F(x)
9、 ，令g(x)f(0，a，0)ax，当x0时，由整理可得x2axa0，由0可得a4或a0，而a0，所以a4，因为两根之和为负数，两根之积为正数，所以两根为负数，显然符合x0；当x0时，由 整理可得x2ax2a0，由0可得a8或a0，而a0，所以a8因为两根之和为正数，两根之积为正数，所以两根为正数，显然符合x0若方程F(x)f(0，a，0)有三个根，则直线yax与F(x)的图像有三个交点，易得当yax(a0)与F(x)左侧图像相交与F(x)右侧图像相切时，方程F(x)f(0，a，0)有三个不同的实根，则a8故答案为：2xy0；8四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
10、演算步骤)17(本小题满分10分) 在对任意n1满足Sn1Sn12(Sn1)；Sn12Snan；Snnan1n(n1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已知数列an的前n项和为Sn，a24，_，若数列an是等差数列，求出数列an的通项公式；若数列an不是等差数列，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解若选择条件：因为对任意n1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，所以Sn1SnSnSn12，即an1an2，因为无法确定a1的值，所以a2a1不一定等于2，所以数列an不一定是等差数列若选择条件：由Sn12Snan，则Sn1Snan2，即an1an2，nN*，又因为a
11、24，所以a12，所以数列an是等差数列，公差为2，因此数列an的通项公式为an2n若选择条件：因为Snnan1n(n1)，所以Sn1(n1)an(n1)n(n2，nN*)，两式相减得，annan1(n1)an2n(n2)，即an1an2(n2)，又S1a22，即a2a12，所以an1an2，nN*，又a24，a2a12，所以a12，所以数列an是以2为首项，2为公差的等差数列所以an22(n1)2n18(本小题满分12分)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解(1)因为f(
12、x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex， f(2)(2a1)e2由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex若a1，则当x时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0，1)时，ax1x10所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)19(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是等差数列，且bn，求非零常数c解(1) an为等差数列， a3a4a2a52
13、2，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413an4n3(2)由(1)知，Snn142n2n，bn，b1，b2，b3bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c(c0舍去)20(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值解(1)由题意知f(n)50n
14、722n240n72由f(n)0，即2n240n720，解得2n18，由nN*知，从第三年开始盈利(2)年平均纯利润40216，当且仅当n6时等号成立即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元21(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Snn22kn(kN*)，且Sn的最大值为4(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和解(1)由题意知，当nk时，Sn取得最大值4，所以k22kkk24，解得k2或k2(舍去)，所以Snn24n当n1时，a1S13当n2时，anSnSn152n经验证n1时也符合该式故数列an的通项公式为an52n(nN*)(2
15、)由(1)知bn设数列bn的前n项和为Tn，则Tn，Tn，两式相减得Tn2，所以Tn4422(本小题满分12分)已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间解(1)当k2时，f(x)ln (1x)xx2，f(x)12x由于f(1)ln 2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln 2(x1)，即3x2y2ln 230(2)f(x)，x(1，)当k0时，f(x)所以，在区间(1，0)上，f(x)0；在区间(0，)上，f(x)0故f(x)的单调递增区间是(1，0)，单调递减区间是(0，)当0k1时，由f(x)0，得x10，x20所以，在区间(1，0)和上，f(x)0；在区间上，f(x)0故f(x)的单调递增区间是(1，0)和，单调递减区间是当k1时，f(x)故f(x)的单调递增区间是(1，)当k1时，由f(x)0，得x1(1，0)，x20所以，在区间和(0，)上，f(x)0；在区间上，f(x)0故f(x)的单调递增区间是和(0，)，单调递减区间是
