1、专题13 二元不等式恒成立问题【方法点拨】1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可.2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理.【典型题示例】例1 若关于x的不等式x33x2+ax+b0对任意的实数x1，3及任意的实数b2，4恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】（，2）【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可.【解析】先视为以b为
2、主元的函数，设f(b)= b+ (x33x2+ax) 则f(b)为关于b的一次函数，在b2，4上增，为使f(b) 0恒成立 只需f(4) 0，即x33x2+ax+40再考虑x33x2+ax+40在x1，3恒成立分离参数可得：a3xx2-4x，设g（x）3xx2-4x，x1，3，故ag（x）的最小值由g（x）32x+4x2，可得1x2时，g（x）0，g（x）递增；2x3时，g（x）0，g（x）递减，又g（1）2，g（3）=-43，可得g（x）在1，3的最小值为2，a2，故实数 a的范围是（，2）例2 已知函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】【解析】由在恒成立，整理得对任意恒成立
3、，所以应有恒成立，即对恒成立设，则，令，得或，列表如下：8000极小值极大值，所以在的最小值为，又，所以实数的取值范围是例3 已知a，bR，若关于x的不等式lnxa(x2)b对一切正实数x恒成立，则当ab取最小值时，b的值为 【答案】ln3【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出ylnx及ya(x2)b的图象，不等式lnxa(x2)b对一切正实数x恒成立，即直线ya(x2)b恒在曲线ylnx的上方ab最小，即直线ya(x2)b与x3交点的纵坐标最小根据图象可知：ab的最小值为ln3，此时直线ya(x2)b与曲线ylnx相切于点(3，ln3)，因此有：a，从而bln3例4 已知，若恒成立，则的
4、取值范围是 【答案】【分析】所求，为了出现，将变形为，此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点，根据图象可知，当时，曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即，所以，的取值范围是点评：对于或型恒成立，求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是： 判断函数的凸凹性（当时，函数为凹函数；当时，函数为凸函数），从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同； 凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可.例5 若恒成立，则的取值范围是 【答案】【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3.【解析】对两边取自然对数得故，所以的取值范围是【巩固训练】1. 若不等式，对任意，恒成
5、立，则实数的取值范围为_.2.设函数，其中若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围为_.3.设、均为实数，已知函数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；4. 已知，若恒成立，则的取值范围是 5. 已知直线与曲线相切，则的最小值是（ ）A. B. C. D.6. 若不等式对于任意恒成立，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 7.已知为自然对数的底数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案与提示】1.【答案】2.【答案】3.【分析】变更主元、分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，【解析】由，得，由于，所以对任意的及任意的恒成立由于，所以，所以对任意的恒成立设，则，所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，所以2，所以24.【答案】【提示】如图中，同例3，易得.5.【答案】C6.【答案】C【提示】将变形为即可.7.【答案】B
