1、专题12 双元类不等式能成立、恒成立问题【方法点拨】1.x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max； x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min g(x) min；x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) min.记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”
2、独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.【典型题示例】例1 已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】即.当时，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，故；当时，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，故；综上，实数的取值范围.例2 已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是 .【解析】由条件可知因为，且、在1，2上单调递增所以函数在1，2上单调递增，所以，即在恒成立，即在恒成立，记，易证在1,2上单调递增，所以，从而只需，即.点评： 为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手
3、段太重要，意味深长！例3 已知函数，若(0，)，1，0，使得成立，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分由题意得，当时，令，则，即在上为减函数，故所以，所以恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以实数的取值范围为 点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.例4 若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，设，则只需或，即或，所以实数的取值范围为.【解析二】
4、先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，即在能成立分离变量得设，则在区间上单增，所以，故，即所以实数的取值范围为.点评：1 二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；2 解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.例5 设a0，函数f (x)x，g(x)xln x4，若对任意的x11，e，存在x21，e，都有f (x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_【答案】【分析】问题可转化为f (x)m
5、ing(x)min，函数g(x)不含参，易求得g(x)ming(1)5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x)min，二是将f (x)ming(x)mi转化为f (x)x5恒成立，通过分离参数再解决【解析】 问题可转化为f (x)ming(x)min.当x1，e时，g(x)10，故g(x)在1，e上单调递增，则g(x)ming(1)5.思路一：又f (x)1，令f (x)0，易知xa是函数f (x)的极小值当a1时，f (x)min1a2，则1a25，不成立；当1e时，f (x)minf (e)e5显然成立，得a25ee2，所以ae.综上所述，实数a的取值范围为.思路二：故有f (x)
6、min5，即f (x)x5恒成立，分离参数得a2x（5 x），易得x（5 x）max=254，又a0，故a所以实数a的取值范围为例6 已知函数f (x)x22ax1，g(x)，其中a0，x0.(1) 对任意的x1,2，都有f (x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；【解析】由题意知，f (x)g(x)0对x1,2恒成立，即x22ax10对x1,2恒成立，即a0，故(x)在x1,2上是增函数，(x)min(1)，所以a的取值范围是.(2) 对任意的x11,2，存在x21,2，使得f (x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围【解析】 由题意知x22ax1min，即a0对x1,2恒成立，则(x
7、)在1,2上是增函数，(x)min(1)，所以a的取值范围是.点评：防止误将xD，均有f(x) g(x)恒成立，转化为f(x)min g(x)max，一般应作差构造函数F(x)=f(x)g(x)，转化为F(x) min0恒成立.【巩固训练】1已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对任意的x1，x21,4有f(x1)g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_2已知函数f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_3. 已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是
8、_4.函数f(x)x312x3，g(x)3xm，若对x11,5，x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的最小值是_5.已知函数f(x)x22x3a，g(x).若对任意的x10，3，总存在x22，3，使得|f(x1)|g(x2)成立，则实数a的值为_6.已知函数f(x)x2x，g(x)ln(x1)a，若存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) ，则实数a的取值范围是 .7. 已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_8.若对于，不等式都成立，则的取值范围是_.9. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_.10.关于
9、的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（ ）.A2； B3； C4； D5. 【答案与提示】1【答案】(，0)【解析】f(x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，则f(x)ming(x)max，即22m，解得mg(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=a，由f(x) max g(x) min得：4a，故a4即为所求.点评：理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)maxg(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围8.【答案】9.【答案】【解析】对不等式分离参数得：设（），则令，则函数在区间单减，故，所以，即实数的取值范围是. 10.【答案】BC【解析】将方程分离参数得：设，如图，则，所以，选BC.
