1、专题过关检测一函数与导数一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021全国乙,理4)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+12.(2021江苏南通二模)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)f(2-32)f(ln 2)B.flog314f(ln 2)f(2-32)C.f(2-32)f(ln 2)flog314D.f(ln 2)f(2-32)flog3147.(2021广东汕头
2、三模)区块链作为一种革新的技术,已经被应用于许多领域,包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此,为了破解密码,最坏情况需要进行2256次哈希运算.现在有一台机器,每秒能进行2.51011次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下,这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)A.4.51073秒B.4.51065秒C.4.5107秒D.28秒8.(2021河北唐山期末)已知函数f(x)=ln(2x+1),g(x)=2mx+m,若f(x)g(x)恒
3、成立,则实数m的取值范围是()A.-,1eB.0,1eC.1e,+D.e,+)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021山东潍坊三模)已知函数y=ax(a0且a1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()10.(2021山东师大附中月考)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则以下几个结论正确的是()A.0x01eC.f(x0)+2x0011.已知函数f(x)=12x-x3,x0,-4x,x0)与曲线g(x)=x2-m(m0)有公共点
4、,且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数),则当m变化时,实数a取以下哪些值能满足以上要求()A.1B.eC.2eD.e2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021广东佛山一模)已知函数f(x)=-ex+ex2(e是自然对数的底数),则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是.14.(2021山东潍坊一模)请写出一个存在极值的奇函数.15.(2021山东临沂期中)若函数f(x)=e2x-ax2+1在区间1,2上单调递减,则实数a的取值范围是.16.(2021湖南师大附中三模)设s,t是两个不相等的正数,且s+sln t=t+tln s,则s+t-s
5、t的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021浙江月考)已知函数f(x)=(x-1)|x-a|.(1)若a=2,求f(x)在区间0,52上的最大值;(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a(-1,2,使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.18.(12分)(2021上海三模)数学建模小组检测到相距3米的A,B两光源的强度分别为a,b,线段AB上任意一点C异于点A,B处的光强度y等于A,B两光源到该处的光强度之和,设AC=x米.(1)假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离的平
6、方成反比,比例系数为常数k(k0),测得数据:当x=1时,y=334k;当x=2时,y=3k,求A,B两光源的强度,并写出函数y=f(x)的解析式;(2)假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离成反比,比例系数为常数k(k0),测得数据:当x=1时,y=52k;当x=2时,y=2k,问何处的光强度最弱?并求最弱处的光强度.19.(12分)(2021湖北荆州中学期中)已知f(x)=(ln x)2+2x-aex.(1)当a=0时,求函数f(x)的导函数f(x)的最大值;(2)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021辽宁沈阳一模)已知函数f(x)=(x+m)e
7、x.(1)若f(x)在区间(-,1上单调递减,求实数m的取值范围;(2)当m=0时,若对任意的x(0,+),nxln(nx)f(2x)恒成立,求实数n的取值范围.21.(12分)(2021山东实验中学二模)已知函数f(x)=ex-ax(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,求函数g(x)=f(x)-cos x在区间-2,+上的零点个数.22.(12分)已知1a2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在区间(0,+)上的零点,证明:a-1x02(a-1);
8、x0f(ex0)(e-1)(a-1)a.专题过关检测一函数与导数1.B解析 函数f(x)=1-x1+x=-1+2x+1,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.2.B解析 依题意知f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,当x0时,f(x)=3x+2x单调递增,且f(2)=13,所以不等式f(x)13的解集为(-2,2).将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得f(x-2)的图象,故不等式f(x-2)0时,函数g(x),h(x)
9、在x=12处分别取得最小值34和最大值a,在同一平面直角坐标系中画出函数g(x),h(x)的图象(图略),由图易知a=34.4.D解析 对任意的xR,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,f(-2020.6)=f(-0.6),又f(x)为R上的奇函数,且当0x1时,f(x)=5x(1-x),因此f(-2020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-50.6(1-0.6)=-65.5.D解析 由题意,知a0且a1.若0a0,且y=ax2单调递增,当x1,2)时,logax0,且y=logax单调递减,所以f(x)=a2不可能有两个不同的解.若
10、a1,则当x(0,1)时,ax20,且y=ax2单调递增,当x1,2)时,logax0,且y=logax单调递增,所以若f(x)=a2有两个不同的解,则a1,a12a2,loga2a2,所以1alog33=1=20122-320,1=lneln2lne=12.所以log34ln22-320.当x(0,+)时,f(x)=-(ex-e-x)(ex+e-x)2f(ln2)flog314.故选C.7.B解析 设这台机器破译密码所需时间大约为x秒,则x2.51011=2256,于是lg(x2.51011)=lg2256,即lgx+lg5-lg2+11=256lg2,所以lgx=258lg2-122580
11、.3010-12=65.658,所以x1065.658=1065100.658,从选项考虑:lg4.5=lg322=2lg3-lg220.4771-0.3010=0.6532,所以4.5100.6532,所以x1065.658=1065100.6584.51065.故选B.8.C解析 函数f(x)=ln(2x+1),x-12,g(x)=2mx+m,f(x)g(x)恒成立,即ln(2x+1)2mx+m恒成立,即mln(2x+1)2x+1在x-12时恒成立,令t=2x+10,即mlntt在t0时恒成立,即mlnttmax(t0).设g(t)=lntt(t0),则g(t)=1-lntt2.令g(t)
12、=0得t=e,则t(0,e)时,g(t)0,g(t)单调递增;t(e,+)时,g(t)0)取得最大值g(e)=lnee=1e,即lnttmax=1e,所以m1e.故选C.9.ABD解析 由题图可得a1=2,即a=2,所以y=a-x=12x单调递减,且函数图象过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在区间(0,+)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增,且函数图象过点(1,1),(-1,1),故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x0,2-x,x0为偶函数,结合指数函数图象可知C错误;y=|logax|=|log2x|=log2x,x1,-log2x,0x0),f(x)=lnx
13、+1+2x.x0是函数f(x)的极值点,f(x0)=0,即lnx0+1+2x0=0.又f1e=2e0,x0,f(x)-,0x00;即C不正确;D正确.11.ABC解析 由题意,函数f(x)=12x-x3,x0,-4x,x0,当x0时,函数f(x)=12x-x3,则f(x)=12-3x2=-3(x+2)(x-2),当0x0,当x2时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+)上单调递减,所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(2)=122-23=16,所以当x0时,f(x)(-,16.当x0),则y0=aex0-2=x02-m,求导得,f(x)=aex-
14、2,g(x)=2x,由切线相同知,f(x0)=g(x0),即aex0-2=2x0,则x02-m=2x0m=x02-2x00x02,由aex0-2=2x0,得a=2x0ex0-2,令h(x)=2xex-2(x2),则h(x)=2-2xex-2,当x2时,h(x)0,h(x)单调递减,h(x)0,因此h(x)在区间1,2上单调递增,所以h(x)max=h(2)=e42,故实数a的取值范围是e42,+.16.(1,+)解析 由已知s+slnt=t+tlns,可得1+lntt=1+lnss,设f(x)=1+lnxx(x0),则f(x)=-lnxx2,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;
15、当x(1,+)时,f(x)t,则0t10,所以s+t-st1.17.解 (1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x0,2,则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-322+14,所以f(x)max=f32=14.若x2,52,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14,在区间2,52上单调递增,所以f(x)max=f52=34.综上,f(x)在区间0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.所以当a(-1,2时,关于x的方程x|x-a|-(x-a)=m有三个根,即当a(-1,2时,函数h(x)=x2-(a+1)x+a,xa,-x2+
16、(a-1)x+a,xa的图象与直线y=m有三个交点.当-1a1时,h(x)在区间-,a-12,a+12,+上单调递增,在区间a-12,a+12上单调递减,此时,ha+12mha-12,可得-(a-1)24m(a+1)24,故-1m1;当1a2时,h(x)在区间-,a-12,(a,+)上单调递增,在区间a-12,a上单调递减,此时,0mha-12,可得0m(a+1)24,而(a+1)241,94,故0m0,所以a+b4=334,a4+b=3,解得a=8,b=1,故y=8kx2+k(3-x)2,x(0,3),k0.(2)由已知,得y=akx+bk3-x.因为x=1时,y=52k,x=2时,y=2k
17、,k0,所以a+b2=52,a2+b=2,解得a=2,b=1,故y=2kx+k3-x,x(0,3),k0.因为y=k32x+13-x(x+3-x)=k33+x3-x+23-xxk3(3+22),当且仅当x3-x=23-xx,即x=6-32时取等号.所以线段AB上距离A光源(6-32)米的C处光强度最弱,且此处的光强度为k3(3+22).19.解 (1)当a=0时,f(x)=(lnx)2+2x,所以f(x)=2lnxx+2.设g(x)=f(x),则g(x)=2(1-lnx)x2.令g(x)=0,得x=e,且当x(0,e)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(e,+)时,g(x)0,h(x)单调
18、递增,在区间(1,+)上,h(x)0,n0,所以2e2xn-lnx-lnn0对于任意的x(0,+)恒成立.设h(x)=2ne2x-lnx-lnn,x0,n0,则h(x)=4ne2x-1x,因为函数y=e2x和y=-1x在区间(0,+)上均单调递增,所以函数h(x)在区间(0,+)上单调递增,当x0时,h(x)0,故存在x0(0,+),使得h(x0)=4ne2x0-1x0=0,即2ne2x0=12x0.当x(0,x0)时,h(x)0,所以h(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+)上单调递增,故h(x)min=h(x0)=2ne2x0-lnx0-lnn=12x0-lnx0-lnn0对
19、x0(0,+)恒成立,又由4ne2x0-1x0=0,得n=4x0e2x0,所以h(x0)=12x0-2x0-2lnx0-2ln20对x0(0,+)恒成立.因为函数y=12x-2x和y=-2lnx在区间(0,+)上单调递减,所以函数h(x0)在区间(0,+)上单调递减.因为x0=12时,h(x0)=0,所以x00,12.令p(x)=4xe2x(x0),则p(x)=4e2x+8xe2x=4e2x(1+2x)0.所以函数n=4x0e2x0在区间0,12上单调递增,所以00,所以f(x)在R上单调递增,当a0时,令f(x)0得xlna,令f(x)0得x0时,f(x)在区间(-,lna)上单调递减,在区
20、间(lna,+)上单调递增.(2)(方法一)由已知得g(x)=ex-2x-cosx,x-2,+,则g(x)=ex+sinx-2.当x-2,0时,因为g(x)=(ex-1)+(sinx-1)g(0)=0,所以g(x)在区间-2,0上无零点;当x0,2时,因为g(x)单调递增,且g(0)=-10,所以存在x00,2,使g(x0)=0,所以当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)在区间0,x0)上单调递减,在区间x0,2上单调递增,且g(0)=0,所以g(x0)0,所以g(x0)g2e2-30,所以g(x)在区间2,+上单调递增,因为g20,所以g(x)在区间2,+上无零点.综上所述,g(x)在
21、区间-2,+上的零点个数为2.(方法二)由已知得g(x)=ex-2x-cosx,x-2,+,则g(x)=ex+sinx-2.当x-2,0时,因为g(x)=(ex-1)+(sinx-1)g(0)=0,所以g(x)在区间-2,0上无零点;当x0,+)时,令s(x)=g(x),则s(x)=ex+cosx0,所以g(x)在区间0,+)上单调递增,又因为g(0)=-10,所以x0(0,)使g(x0)=0,当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+)上单调递增,且g(0)=0,所以g(x0)0,所以g(x0)g()0,所以g(x)在区间(x0,+)上存在唯一
22、零点,所以g(x)在区间0,+)上存在两个零点.综上所述,g(x)在区间-2,+上的零点个数为2.22.证明 (1)由题意得f(0)=1-a0,所以y=f(x)在区间(0,+)上存在零点.因为f(x)=ex-1,所以当x0时,f(x)0,故函数f(x)在区间0,+)上单调递增,所以函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点.(2)令g(x)=ex-12x2-x-1(x0),g(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由(1)知函数g(x)在区间0,+)上单调递增,故当x0时,g(x)g(0)=0,所以函数g(x)在区间0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=0.又10,所以g(2(a-1)0,
23、所以f(2(a-1)=e2(a-1)-2(a-1)-a0=f(x0),因为f(x)在区间0,+)上单调递增,故2(a-1)x0.令h(x)=ex-x2-x-1(0x1),则h(x)=ex-2x-1,令h1(x)=ex-2x-1(0x1),则h1(x)=ex-2,所以x0(0,ln2)ln2(ln2,1)1h1(x)-1-0+e-2h1(x)0单调递减单调递增e-3故当0x1时,h1(x)0,即h(x)0,所以h(a-1)0,所以f(a-1)=ea-1-a-1-a0=f(x0),因为f(x)在区间0,+)上单调递增,故a-1x0.综上,a-1x02(a-1).令u(x)=ex-(e-1)x-1,则u(x)=ex-(e-1),所以当x1时,u(x)0,故函数u(x)在区间1,+)上单调递增,因此u(x)u(1)=0.又ex0=x0+a,所以x0f(ex0)=x0f(x0+a)=(ea-1)x02+a(ea-2)x0(e-1)ax02,由x0a-1,得x0f(ex0)(e-1)(a-1)a.17
