1、专题突破练3基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021陕西西安月考)函数f(x)=xx2-1-12的零点个数是()A.1B.2C.3D.42.(2021福建泉州一模)已知a=32,b=32,c=ln3ln2,则()A.abcB.cbaC.cabD.acb3.(2021浙江绍兴二模)函数f(x)=logax+ax(a1)的图象大致是()4.(2021湖北十堰期中)已知关于x的方程9x-2a3x+4=0有一个大于2log32的实数根,则实数a的取值范围为()A.0,52B.52,4C.52,+D.(4,+)5.(2021山东潍坊二模)关于函数f(x)=2x-a,0x2,b-x,x2,其中
2、a,bR,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f(x)=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是()A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021湖南师大附中期末)已知函数f(x)=lnx,x1,-ln(2-x),x1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021福建厦门期末)已知函数f(x)=|log3x|,03,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-33C.-1,-23D.-23,-33二、多项选择题
3、8.(2021江苏扬州期末)17世纪初,约翰纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a10n(1a10,nZ)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()真数x2345678910lg x(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lg x(近似值)1.0411.0791.1141
4、.1461.1761.2041.2301.2551.279A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a10m(1a10,mZ),则m=-16D.若m32(mN*)是一个35位正整数,则m=129.(2021北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718
5、 28),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021海南第四次模拟)已知k0,函数f(x)=-ln(k-x),x0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021北京通州区一模)已知函数f(x)=x2+2x,xt,lnx,xt(t0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021山东济宁期末)已知函数f(x)=ex+
6、x2+ln(x+a)与函数g(x)=ex+e-x+x2(xb,因为a-c=32-ln3ln2=3ln2-2ln32ln2=ln8-ln92ln20,所以ac,所以ba1,所以g(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增,故f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A选项正确.4.C解析 令t=3x,因为方程9x-2a3x+4=0有一个大于2log32的实数根,即x2log32,则t32log32=4,所以函数f(t)=t2-2at+4有一个大于4的零点,所以f(4)=42-8a+452,即实数a的取值范围是52,+.故选C.5.B
7、解析 若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B.6.A解析 当x1时,2-x1,所以f(2-x)=-ln2-(2-x)=-lnx=-f(x),当x1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x),当x=1时,f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x1时,原方程可变为f(x)=1x-1,画出函数y=f(x)和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共
8、点,设为点A(x1,y1),B(x2,y2),因为函数y=f(x)和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A,B关于点(1,0)对称,所以x1+x22=1,即x1+x2=2.故选A.7.D解析 令f(x)=t,则原方程可化为t2+mt+112=0,画出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则关于t的方程t2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得1120,=m2-130,14+12m+1120,-m2(0,12),解得m-23,-33.故选D.8.ACD解析 对A,令x=310,则lgx
9、=lg310=10lg3=4.77,所以x=104.77(104,105),A正确;对B,令y=250,则lgy=lg250=50lg2=15.05,所以y=1015.05(1015,1016),则250是16位数,B错误;对C,令z=2-50,则lgz=lg2-50=-50lg2=-15.05,又因为2-50=a10m(1a10,mZ),所以10-15.05=a10m,则10-15.05-m=a100,101),所以m=-16,C正确;对D,令k=m32,则lgk=lgm32=32lgm,因为m32(mN*)是一个35位正整数,所以3432lgm35,则3432lgm3532,即1.063l
10、gm1.094,所以m=12,D正确.故选ACD.9.BC解析 对A,当a=b时,f(x)=ae-x+aex,此时f(-x)=aex+ae-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A错误.对B,当ab0,b0,则函数y=aex在其定义域上单调递增,函数y=bex在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=aex+bex在其定义域上单调递增;若a0,则函数y=aex在其定义域上单调递减,函数y=bex在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=aex+bex在其定义域上单调递减.综上,如果ab0,b0时,函数f(x)=aex+be-x2aexbe-x=2ab0,当a0,b0时,函数f(x)=-(-aex-b
11、e-x)-2(-aex)(-be-x)=-2ab0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a0,b0,b0时,函数f(x)=aex+1ae-x2aex1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析 当x0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)lnk,当x0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)-lnk,f(x)的值域为(-,-lnk)(lnk,+),若k1,lnk0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D
12、,若k=12,lnk=-ln2,而ln2t(t0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以et1.所以t可取2.12.(-,e)解析 由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=lnx的图象左右平移得到的,当y=lnx的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=lnx的图象往左平移a个单位长度,且ae时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+)上无交点.将函数y=lnx的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+)上恒有交点.所以ae,即a(-,e).7
