1、房山区2020-2021学年度第一学期期末检测试卷高二数学本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知点，则线段的中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】由点，则线段的中点坐标为，即.故选：B2. 圆心为，半径为的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得
2、出结果.【详解】圆心为，半径为的圆的方程为.故选：D.3. 已知直线和互相平行，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件求解【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得或故选：C【点睛】易错点睛：本题考查由直线平行求参数值，解题时要注意在由条件求参数时，求得的参数值一般需代入直线方程检验，去除两直线重合的可能，否则易出错如果采取分类讨论方法：先考虑系数为0，然后在一个方程中系数全不为0时，用比值进行求解，一般不会出错4. 下列双曲线中以为渐近线是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接令双曲线方程中的“1”为“0”，求渐近线方程判断.
3、【详解】A. 令得，故正确；B. 令得，故错误；C. 令得，故错误； D. 令得，故错误； 故选：A5. 在的展开式中，的系数为（ ）A. 5B. C. 10D. 【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：在的展开式中的项为的系数为-10，故选：D.6. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式即可解得【详解】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为所以位患者中恰有1为患者被
4、治愈的概率为故选：B【点睛】结论点睛：二项分布概率公式，n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，考查学生的逻辑能力与运算能力，属于基础题.7. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出【详解】椭圆的半焦距为，双曲线中，（）故选：C【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数，但它们的关系不相同：椭圆中，双曲线中，不能混淆这也是易错的地方8. 已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
5、【分析】利用相关点法即可求解.【详解】设线段的中点，所以，解得，又点在圆上，则，即.故选：A9. 已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】求出直线过的定点坐标，确定定点在圆内，则可判断【详解】直线方程整理为，即直线过定点，而，在圆内，直线与圆相交故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆的一般方程为，点，则点在圆内，点在圆上，点在圆外10. 如图，在正方体中，点分别是棱上的动点给出下面四个命题直线与直线平行；若直线与直线共面，则直线与直线相
6、交；直线到平面的距离为定值；直线与直线所成角的最大值是其中，真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用特殊位置可判断的正误，可证明平面，据此可判断的正误，利用向量的数量积可求夹角的余弦值，从而可求其最大值【详解】如图1，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，故错误如图2，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，故直线与直线平行，故错误因为平面平面，而平面，故平面，所以直线到平面的距离为定值（正方体的棱长），故正确建立如图3所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，其中，而，故， ，设直线与直线所成角为，则，若直线与直线不平行，则，故，故直线与直线所成
7、角的最大值是，所以正确故选：B【点睛】方法点睛：空间中与直线与直线的位置关系有关的判断，应该让几何对象动态变化，在变化过程中确定位置关系，而角的最值判断，则需构建平面角，也可以通过直线的方向向量的夹角来处理第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 电影夺冠要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有_种.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】不同的放映次序即为4个不同元素的全排列，故可得不同次序的总数.【详解】不同的放映次序即为4个不同元素的全排列即为，故答案为：24.12. 设随机变量的分布列为：则_；随机变量的数学期望_.【答案】 (
8、1). (2). 【解析】【分析】由概率之和等于，可求出的值，再利用数学期望的计算公式即可求.【详解】因为概率之和等于即，解得：，所以，故答案为：；.13. 某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为_；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式计算“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率，由条件概率公式计算已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率
9、【详解】共有人数为，男生且有参加滑雪运动打算的人有8人，概率为，记抽到的是男生为事件，有滑雪打算的为事件，由题意，由（1），故答案为：；【点睛】思路点睛：本题解题关键是对事件的理解，本题中事件“若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算”，可理解为“在抽到的是男生”这个条件下，事件“他有滑雪打算”这个事件发生这是一个条件概率问题由条件概率公式可计算14. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为_；_.【答案】 (1). (2). 5【解析】【分析】根据公式可求准线方程，利用焦半径公式可求长度.【详解】因为抛物线的方程为，故准线方程为，而，故答案为：，5.15. 已知曲线.给出
10、下列四个命题：曲线过坐标原点；若，则是圆，其半径为；若，则是椭圆，其焦点在轴上；若，则是双曲线，其渐近线方程为.其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】对于，根据点在曲线上的充分必要条件即可作出判定；对于，利用圆的标准方程可求得半径为的圆，故错误；对于，利用椭圆的标准方程可以判定；对于，利用双曲线的标准方程可以作出判定，将双曲线方程中的等号右边的常数改为0，得到，整理即可得到渐近线方程.【详解】对于，将原点坐标(0,0)代入曲线的方程，显然不成立，故曲线不过坐标原点，故错误；对于，若，曲线的方程为,对应曲线为以原点为圆心，半径为的圆，故错误；对于，若，则曲线表示半长轴半短轴，长轴在轴，
11、即焦点在轴上的椭圆，故正确；对于，若，曲线表示双曲线，渐近线方程为，即，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查圆，椭圆，双曲线的标准方程和性质，难度不大，要熟练准确掌握圆，椭圆，双曲线的标准方程，注意若，曲线表示双曲线，渐近线方程可用表示.三、解答题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知直线过点，再从下列条件、条件、条件这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程.条件：直线经过直线与 的交点；条件：直线与圆相切；条件：直线与坐标轴围成的三角形的面积为【答案】答案见解析.【解析】【分析】选择条件：解方程组求得已知两直线交点坐标，根据斜率公式求得直线的斜率，
12、然后利用斜截式写出直线的方程并化为一般形式；选择条件：先判定直线的斜率存在，射出点斜式方程，利用直线与圆相切的条件列式求得直线的斜率得到方程； 选择条件：先判定直线不与坐标轴平行，设处直线的方程的点斜式，求得横截距，进而利用已知三角形的面积求得斜率的之，得到直线的方程.【详解】选择条件：解方程组 得 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即.选择条件：设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即.圆的圆心为，半径为. 因为 直线与圆相切，所以 . 解得. 所以直线的方程为，即. 选择条件：设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），令 得.则 . 解得. 所以直线的方程为，即，.【点睛】本题考查直线方
13、程的各种求法，涉及直线与圆相切的条件，注意判定直线的斜率是否存在，注意思维的严密性.17. 已知点在抛物线上，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为.（1）求的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长.【答案】（1），焦点坐标为；（2）.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得出抛物线的标准方程以及该抛物线的焦点坐标；（2）写出直线的方程，将该直线的方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式可求得弦长.【详解】（1）由点抛物线上，得.所以抛物线的方程为，焦点坐标为；（2）直线的方程为，即，解方程组，整理可得，解得或.所以点的坐标为，所以.【点睛】方法点睛
14、：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.18. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（）第一次摸到红球的概率；（）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（）第二次摸到红球的概率.【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率（）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（）可求概率（）根据（）（）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率【详解】设事件：第一次摸到红
15、球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以 . （）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以. （）.所以第二次摸到红球的概率.【点睛】方法点睛：利用全概率公式计算随机事件概率时，注意把随机事件分解为两个随机事件和，再利用条件概率公式计算两者的概率即可19. 某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：顾客年龄20岁以下20，30
16、)30，40)40，50)50，60)60，7070岁以上使用人数510188420未使用人数002123630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用这款APP的概率；（2）从被抽取的年龄在且使用这款APP的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用表示这2人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（3）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）2820张.【解析】【分析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的
17、有2+1214人，由概率公式即可得到所求值；（2）所有的可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有47人，计算可得所求值【详解】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在30， 50)且未使用这款APP的共有2+12=14人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30， 50)且未使用这款APP的概率为 （2）的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， . 所以的分布列为012故的数学期望为. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:张.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的
18、分布列及数学期望，以及古典概型，求的分布列，关键点是求出所有可能取值对应的概率可得，是一道综合题20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据平面得出，然后根据底面为正方形得出，最后根据线面垂直的判定即可得出结果；（2）本题首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量以及平面的法向量，最后通过即可得出结果.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，因为，所以平面.（2）如图，以为原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则、，则，因为为中点，所以，设平面的法
19、向量为，则，即，令，则，因为平面，所以为平面的法向量，则，故结合图像易知，二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及二面角的余弦值的求法，若平面外一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直，可通过建立空间直角坐标系的方式求二面角，考查数形结合思想，是中档题.21. 已知椭圆的离心率为，且经过点.（）求椭圆的方程；（）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由题意可得，再由即可求解.（）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，消，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，根据题意可知，即 ，从而求得 或 （都满足），即求；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，求出即可求解.【详解】（）由椭圆离心率为，且经过点 ，可知所以 .所以 . 所以椭圆的方程为.（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得 .设， 则.因为以线段为直径的圆经过点 ，所以 . 所以 . 由 ，整理得 .解得 或 （都满足）.所以 或 .因为直线不过点，所以直线过定点 当直线斜率不存在时，设直线的方程为，则，. 解得 或（舍）.综上 直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用韦达定理以及向量的数量积求出直线中与的关系，考查了运算求解能力.
