1、考点规范练63二项分布与正态分布基础巩固1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为18和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=()A.110B.215C.16D.15答案:B解析:由题意,得18(1-p)+78p=940,故p=215,故选B.2.已知随机变量服从正态分布N(2,2),P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案:C解析:P(4)=0.8,P(4)=0.2.由题意知图象的对称轴为直线x=2,P(0)=P(4)=0.2,P(04)=1-P(0)-P(4)=0.6.P(02
2、)=12P(04)=0.3.3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以31的比分获胜的概率为()A.827B.6481C.49D.89答案:A解析:第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,所以所求的概率为P=C322321323=827.4.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个、蓝球4个、绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球、一个绿球”,则P(B|A)=()A.1247B.211C.2047D.1547答案:D解析:因为P(A)=54+
3、53+43C122=4766,P(AB)=53C122=522,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1547.5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为()A.35B.45C.34D.14答案:C解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件A,“乙射击一次,未击中目标”为事件B,则P(A)=35,P(A)=1-35=25,P(B)=p,P(B)=1-
4、p,依题意得35(1-p)+25p=920,解得p=34.故选C.6.一袋中有5个白球、3个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.C12103810582B.C12938958238C.C119582382D.C1193810582答案:D解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为38,所以P(X=12)=C11938958238=C1193810582.7.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,23,34,且是相互独立的.
5、如图,将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路,则电路不发生故障的概率是()A.1124B.2324C.14D.1732答案:A解析:记T1正常工作为事件A,记T2正常工作为事件B,记T3正常工作为事件C,则P(A)=12,P(B)=23,P(C)=34,电路不发生故障,则满足T1正常工作,T2,T3至少有一个正常工作.T2,T3至少有一个正常工作的概率为P1=1-P(BC)=1-1-231-34=1112.故电路不发生故障的概率P=121112=1124.8.1 000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在630分以上的考生人数约为.(注:正态分布N(,2)
6、在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3)答案:23解析:由题意可知=530,=50,在区间(430,630)的概率为0.9545,故成绩在630分以上的概率为1-0.954520.023,因此成绩在630分以上的考生人数约为10000.023=23.9.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案:0.18解析:前五
7、场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以41获胜的概率是0.108+0.072=0.18.10.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)
8、求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.解:(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.11.某
9、袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外完全相同.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.解:(1)由题意可知X的取值为1,2,3.P(X=1)=13;P(X=2)=2312=13;P(X=3)=23121=13.所以X的分布列是X123P131313(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.P(X=k)=23k-113,k=1,2,3,4.P(X=5)=234.故X的分布列为X12345P132942788
10、11681(3)因为XB5,13,所以X的分布列为P(X=k)=C5k13k235-k,其中k=0,1,2,3,4,5.能力提升12.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为6364,则事件A恰好发生一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764答案:C解析:假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数XB(3,p),则有1-(1-p)3=6364,得p=34,故事件A恰好发生一次的概率为C31341-342=964.13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次
11、音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=C311211-122=38,P(X=20)=C321221-121=38,P(X=100)=C331231-120=18,P(X=-200)=C301201-123=18.所以X的分布列为X102
12、0100-200P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.14.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响
13、,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).解:(1)记事件A为“甲第一轮猜对”,记事件B为“乙第一轮猜对”,记事件C为“甲第二轮猜对”,记事件D为“乙第二轮猜对”,记事件E为“星队至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C
14、)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=34233423+214233423+34133423=23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=14131413=1144,P(X=1)=234131413+14231413=10144=572,P(X=2)=34133413+34131423+14233413+14231423=25144,P(X=3)=34231413+14133423=12144=112,P(X=4)=234233413+34231423=60144=512,P(X=6
15、)=34233423=36144=14.可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以均值E(X)=01144+1572+225144+3112+4512+614=236.高考预测15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P
16、(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13232+2313232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分布列为X2345P59291081881
