1、第九章第七节一、解答题1如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点求证：(1)直线AR平面PMC；(2)直线MN直线AB证明证法1：(1)连接CM，ABCD为矩形，R、M分别为AB、CD的中点，MA綊CR，AMCR为平行四边形，CMAR，又AR平面PMC，AR平面PMC(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，ABAD，PA平面AC，PAAB，AB平面PAD，MRAD，NRPD，平面PDA平面NRM，AB平面NRM，则ABMN.证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ABa，ADb，APc，则B(a,0,
2、0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，M(，0,0)，N(，)，R(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，设，ARMC，AR平面PMC，AR平面PMC(2)(0，)，(a,0,0)，0，MNAB2. (2014长春模拟)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：PA平面ABCD，PB与平面
3、ABCD所成的角为PBA45.AB1，由ABCBAD90，易得CDAC，ACCD又PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.E是PD的中点，存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中点3如图，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，A
4、DDE2AB，且F是CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.证明证法一：(1)取CE的中点P，连接FP、BP，F为CD的中点，FPDE，且FPDE.又ABDE，且ABDE，ABFP，且ABFP，四边形ABPF为平行四边形，AFBP.又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为正三角形，AFCDAB平面ACD，DEAB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDED，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE.又BP平面BCE，平面BCE平面CDE.证法二：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0
5、)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F(a，a,0)(1)(a，a,0)，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)(a，a,0)，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，AFCD，AFED又CDDED，AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，H、F分别为AB、CC1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH平面FA1B(2)求证平面ABB1A1平面FA1B(3)设E为BB1上一点，试确定E的位置，使HEBC1.解析在正三棱柱中，H为AB中点，CHAB，过
6、H作HMAB交A1B1于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，C1(0，2，4)(1)证明：(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，与不共线，平面FA1B，HC平面FA1B，HC平面FA1B(2)证明：平面ABB1A1的一个法向量为n1(0,2，0)，设平面FA1B的一个法向量n(x，y，z)，则令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面ABB1A1平面FA1B(3)E在BB1上，设E(2,0，t)，(t0)，则(2,0，t)，(2,2，4)，HEBC
7、1，44t0，t1，E是BB1上靠近B点的四等分点(或BEBB1)一、解答题5(2014北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解析(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Ax
8、yz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22，因为n是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为(，)所以PH2.6(2014安徽淮南二模)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC
9、2，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF2.(1)求证：B1F平面ADF；(2)若，求证：PF平面ADB1.解析取BC的中点D，ABAC，ADBC，取B1C1的中点D1，则DD1平面ABC，分别以CB、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，ABACAA13，BC2，A(0，2，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，A1(0，2，3)，B1(1,0,3)，C1(1,0,3)，CF2，F(1,0,2)(1)(2,0，1)，(0，2，0)，(1,0,2)，0，0，平面ADF，B1F平面ADF.(2)(1，2，0)(，0)，P(，3)，(，1)设平面ADB1的法向量为n(x0，y0
10、，z0)，则设z01，则n(3,0,1)n0，PF平面ADB1，PF平面ADB1.7(2014山东青岛模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C(2)AB1平面A1C1C证明二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，AA1平面BAC又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1)(0,2,0)
11、，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C8(2013上海浦东新区质检)四棱锥PABCD的底面是平行四边形，平面PAB平面ABCD，PAPBABAD，BAD60，E、F分别为AD、PC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：EF平面PBD；(3)求二面角DPAB的
12、余弦值解析(1)证明：ABD中，AD2AB，BAD60，由余弦定理得，BD2AB2AD22ABADcos60AD2AB2，BDAB，平面PAB平面ABCD，BDAB，DB平面PAB，以B为原点，直线BA、BD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图，令AB2，则A(2,0,0)，D(0,2，0)，P(1,0，)，C(2,2，0)，()(3,0，)(，0,1)，又平面PAB的法向量n2(0,1,0)，n20，EF平面PAB，EF平面PAB(2)证明：(0,2，0)，(1,0，)，0，0，EFBD，EFBP，EF平面PBD(3)设平面PAD的法向量为n1(x，y，z)，(1,0，)，(2,2，0)，
13、则令x，所以n1(，1,1)，平面PAB的法向量n2(0,1,0)，cosn1，n2，二面角DPAB的余弦值为.9(2014天津和平区四模)如图，在底面为菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAAC1，PBPD，点E在PD上，且PEED21.(1)求证：PA平面ABCD；(2)求二面角EACD的正弦值；(3)在棱PC上是否存在一点F，使得BF/平面EAC？若存在，试求出PF的值；若不存在，请说明理由解析(1)证明：底面ABCD为菱形，ABC60，ABADAC1.在PAB中，PAAB1，PB，PA2AB2PB2.PAAB在PAD中，PAAD1，PD，PA2AD2PD2.PAADABADA，PA
14、平面ABCD(2)以A为坐标原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，B(，0)，C(，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，E(0，)则(，0)，(0，)设平面EAC的法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则y，z2，故n(1，2)易知平面DAC的法向量为m(0,0,1)设二面角EACD的大小为(为锐角)，由cos|cosn，m|，得cos，故sin.(3)设点F是棱PC上的一点，(，)，其中01，(，1)，则(，1)由(2)可知，平面EAC的法向量为n(1，2)要使BF平面EAC，需满足n.从而n0.即有220，解得，故F为棱PC的中点时，BF平面EAC此时F点的坐标为(，)，(，)，PF的值为|.
