1、滚动测试卷二(第一五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合A=xN|x-1|1,B=x|y=1-x2,则AB的子集个数为()A.1B.2C.4D.8答案:C解析:集合A=xN|x-1|1=0,1,2,B=x|y=1-x2=x|-1x1,AB=0,1.集合AB的子集个数为22=4,故选C.2.2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案:D解析:2-i1+2i=(2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i-4i-21+4=-5i5=-i,故选D.3.下列结论正确的是()A.若命题p:x0,都有x20,则p:x00,使得
2、x020B.若命题p和pq都是真命题,则命题q也是真命题C.在ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则acos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2或x1,则x2+x-20”答案:C解析:若命题p:x0,都有x20,则p:x00,使得x020.故A项错误;若命题p和pq都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误;在ABC中,由ab可知0ABcosB,C项正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2且x1,则x2+x-20”.故D项错误.故选C.4.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的
3、封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C.2D.答案:B解析:由题意可知阴影区域的面积是S=-232cosxdx=-sinx|232=2.故选B.5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.64答案:B解析:因为当x0,|2的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象()可得g(x)=sin2x+4的图象.A.向右平移12个长度单位B.向左平移24个长度单位C.向左平移12个长度单位D.向右平移24个长度单位答案:D解析:由函数f(x)=Asin(x+)的部分图象知,A=1,T4=712-3=4,T=2
4、=,解得=2,由五点法画图知,23+=,解得=3,f(x)=sin2x+3,又y=sin2x-24+3=sin2x+4,将函数f(x)的图象向右平移24个长度单位,可得g(x)=sin2x+4的图象,故选D.7.函数y=ln1-x1+x+sin x的图象大致为()答案:A解析:易知f(x)=ln1-x1+x+sinx的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)=-ln1-x1+x-sinx=-f(x),即函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D;又f12=ln13+sin12=sin12-ln30,故排除选项B,所以选A.8.在四边形ABCD中,ACBD
5、,且AC=2,BD=3,则ABCD的最小值为()A.134B.-134C.154D.-154答案:B解析:设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故AB=(2-a,b-3),CD=(-a,b).ABCD=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+b-322-134.当a=1,b=32时,ABCD取得最小值-134.9.设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x+3)=-1f(x),且当x-3,-2时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.110C.-10D.-110答案:B解析:f(
6、x+3)=-1f(x),f(x+6)=-1f(x+3)=-1-1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(617+5.5)=f(5.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14(-2.5)=110.故选B.10.已知函数y=sin(x+)-2cos(x+)(0)的图象关于直线x=1对称,则sin 2=()A.-45B.-35C.35D.45答案:A解析:y=sin(x+)-2cos(x+)=5sin(x+-),其中sin=25,cos=15.函数y的图象关于直线x=1对称,+-=2+k,kZ,即=-2+k,kZ.sin2=sin2-2+k=sin(2-+2
7、k)=sin(2-)=-sin2=-2sincos=-22515=-45,故选A.11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=14,sinCsinA=2,且SABC=154,则b=()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:由cosB=14,0B0时,不等式f(x)+xf(x)cbB.cabC.cbaD.bac答案:C解析:构造函数g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),当x0时,不等式f(x)+xf(x)0时,g(x)0,函数g(x)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)在R上是奇
8、函数,g(x)在R上是减函数.a=30.2f(30.2),b=(log2)f(log2),c=log214flog214,log214=-2,而-2log2ba.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tanx+4=-2,则sin 2x+2cos2x=.答案:45解析:tanx+4=tanx+11-tanx=-2,tanx=3,则sin2x+2cos2x=2tanx+2tan2x+1=45.14.已知函数f(x)=-2ex,x0,lnx,x0(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x)的零点是.答案:e解析:令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得
9、t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x)的零点是e.15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案:4 062.5解析:由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,在ABC中,由余弦定理有cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=132+142-15221314=51
10、3,B为锐角,sinB=1-cos2B=1213,设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=750021213=4062.5米.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABAC=BABC=1,则c=.答案:2解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由ABAC=BABC,得cbcosA=cacosB.故由正弦定理,得sinBcosA=cosBsinA,即sin(B-A)=0.因为-B-A,所以B=A,从而b=a.由已知BABC=1,得accosB=1.故由余弦定理知aca2+c2-b22ac=1,即a2
11、+c2-b2=2,故c=2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan tan =16,求证:ab.答案:(1)解因为a与b-2c垂直,所以a(b-2c)=4cossin-8coscos+4sincos+8sinsin=4sin(+)-8cos(+)=0,因此tan(+)=2.(2)解由b+c=(sin+cos,4cos-4sin),得|b+c|=(sin+cos)2+(4cos-4sin)2=17
12、-15sin242.又当=k-4(kZ)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由tantan=16,得16coscos=sinsin,故ab.18.(12分)某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+7t百万元.(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x(1x5)百万元,可增加的销售额约为12x2+4ln x百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益
13、最大.(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)解:(1)设每年投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则由f(t)=(-t2+7t)-t=-t2+6t=-(t-3)2+9(0t4).当t=3时,f(t)取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元,设由此增加的收益是g(x)百万元.则g(x)=12x2+4lnx+-(5-x)2+7(5-x)-5=-12x2+3x+4lnx+5.g(x)=-x+3+4x=-x2-3x-4x=-(x-4)(x+1)x,1x5.则
14、当1x0;当4x5时,g(x)0,0,02的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=fx-122,求函数g(x)在区间-6,3上的最大值,并确定此时x的值.解:(1)由题图,知A=2,T4=3,则2=43,即=32.又f-6=2sin32-6+=2sin-4+=0,sin-4=0,02,-4-40,得x1;由f(x)0,得-13x0;当x3,23时,f(x)0.所以f(x)在区间0,3,23,单调递增,在区间3,23单调递减.(2)证明因为f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,的最大值为f3=338,最小值为f23=-338.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|338.(3)证明由于(sin2xsin22xsin22nx)32=|sin3xsin32xsin32nx|=|sinx|sin2xsin32xsin32n-1xsin2nx|sin22nx|=|sinx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22xsin22nx3382n3=3n4n.
