1、专题三 压轴解答题第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1. 以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 如图，在四棱锥中， 平面， 平面，（1）求证：平面平面；（2）在线段上
2、是否存在一点，使平面？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）在线段上存在一点，且【解析】所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置【举一反三】如图甲，的直径，圆上两点、在直径的两侧，使，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点根据图乙解答下列各题：（1）求证：；（2）在弧上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，
3、请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）为弧的中点【解析】类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，底面是正方形点是棱的中点，平面与棱交于点（1）求证：；（2）若，且平面平面，试证明平面；（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?（直接给出结论，不需要说明理由）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】【名师指点】以直线和平面垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定两个线现垂直关系来求解类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 直三棱柱中，分别
4、是 的中点，为棱上的点（1）证明： ；（2）证明：；（3）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为中点【解析】（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，即， 令，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转
5、化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法【举一反三】如图，中，是的中点，将沿折起，使点与图中点重合（）求证：；（）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（）在（）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论【答案】（）证明见解析；（） ；（）存在，线段的中点【解析】在中，故二面角的余弦值为【精选名校模拟】在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，AB=AD=CD，ABAD，ABCD，点g（x）=f（x）x2+2x是PC的中点（）求证：MB平面PAD；（）求二面角PBC
6、D的余弦值；（）在线段PB上是否存在点N，使得DN平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（）；（）不存在【解析】所以二面角PBCD的余弦值为 2. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）在底边上是否存在一点，使平面？证明你的结论【答案】（1）；（2）存在点为的中点，使平面，理由见解析【解析】（1）取的中点，连结因为为的中点，则，所以为所求的角 3. 如图，在中，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（）求证：平面；（）若是的中点，求与平面所成角的大小；（）点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过
7、点且垂直于平面，求点到直线的距离的最小值【答案】（）见解析；（）与平面所成角的大小；（）点到直线的距离有最小值.【解析】（）如图建立空间直角坐标系，则，设平面法向量为则 不妨取又，与平面所成角的大小 4. 在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，.（）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为.ABCDP【答案】解法一：ABCDPyxzQ所以，.11分注意到，得. .12分 法二：（）面PCD底面ABCD，面PCD底面ABCD=CD，PD面PCD，且PDCDPD面ABCD，1分 又BC面ABCD，BCPD . .2分取CD中点E，连结BE，则BECD，且BE=1在RtABD中，在R
8、tBCE中，BC=. .4分, BCBD .5分由、且PDBD=DBC面PBD. .6分ABCDPQEFG在RtFGQ中，FGQ=45FQ=FG，即 .11分 .12分5. 在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，ABCDEP（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在,求的值；若不存在，请述明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，且 【解析】所以， 又由平面，可得，因为所以平面6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且（）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说
9、明理由【答案】（）见解析；（）；（）【解析】（）因为梯形中，,所以因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,所以设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到,同理可得,所以,因为二面角为锐角，所以二面角为7. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点（1）证明:；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】8. 如图，在直三棱柱中，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位
10、置，若不存在，说明理由 【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）当点为线段中点时， 与成角.【解析】（2）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系.设，则.所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得.易知平面的法向量为.由二面角是锐角，得 . 8分所以二面角的余弦值为.9.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由【答案】（）详见解析；（）；（）存在，=【解析】（）（）设，则.-11分若使平面，需且仅需且平面，-12分
11、解得,-13分所以在线段上存在一点，使得平面.此时=. -14分10. 如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求证:EM平面ABC;(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM平面? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，【解析】 (2)假设上存在满足条件的点，此时面内必存在垂直于的两条直线，容易证明面，所以，又，所以，接下来再能保证即可，此时必有，进而根据成比例线段可求出的长度，即点的位置确定.11. 如图，在各棱长均为的
12、三棱柱中，侧面底面，（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在点，使.【解析】试题分析：（1）首先根据几何体的性质建立空间直角坐标系，利用“侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角”，借助向量夹角公式进行计算；（2）假设存在点P满足，设出其坐标，然后根据建立等量关系，确定P点坐标即可.试题解析：12. 如图，已知平面四边形中，为的中点，且将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，
13、请说明理由（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点；（3）.【解析】（1）直二面角的平面角为，又，则平面，所以又在平面四边形中，由已知数据易得，而，故平面，因为平面，所以平面平面 （4分）解法二：（略解）如图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； .（8分）13. 四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.ABCDP【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-A
14、BCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.14. （如图1）在平面四边形中，为中点，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且
15、ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】本题考查空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角、直线与平面垂直和平行等基础知识，考查用空间向量解决立体几何中的问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先用三角形中位线，证，所以利用线面平行的判定定理，得出平面，同理：平面，把与的夹角转化为与的夹角，利用面面平行，转化到平面的距离为到平面的距离，易得出距离为1，最后求转化后的；第二问，由已知建立空间直角坐标系，写
16、出各点坐标，用反证法，先假设存在，假设，求出向量和坐标，用假设成立的角度，列出夹角公式，解出，如果有解即存在，否则不存在，并可以求出的坐标及.（2）因为平面，所以平面，所以.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为，所以，假设在线段存在一点使直线与直线所成角为.依题意可设，其中.由，则.由因为，,所以，因为直线与直线所成角为，所以，即，解得，所以，.所以在线段存在一点，使直线与直线所成角为，此时.15. 如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，ABCD，ADDC，AB2，CD4（）求证：BC平面BDE；（）试在平面C
17、DE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】（）利用 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令 是平面 的一个法向量，则由求出向量的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点 的坐标试题解析：解法二：因为平面 平面 , 所以 平面 1分所以 两两互相垂直以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 则 2分所以 3分所以， 4分又因为 所以 平面 5分因为 与平面所成的角等于 ，所以与所成的角为或所以 10分所以 又因为 ，所以 或 11分当时，（*）式无解当时，解得： 12分所以， 或 13分1
18、6. 如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，Q是AD的中点.（）若，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面APD平面ABCD，且，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角的大小为，并求出的值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】17. 如图，垂直于梯形所在的平面，为中点， 四边形为矩形，线段交于点N （1）求证：/ 平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）（3）在线段上存在一点，且【解析】（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 5分则（3
19、）设存在点Q满足条件由 设，整理得 ， 11分因为直线与平面所成角的大小为，所以， 13分则知，即点与E点重合故在线段上存在一点，且 14分18. 如图，中，是的中点，将沿折起，使点与图中点重合（）求证：；（）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（）在（）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论【解析】APOBCB试题解析：（）点，即，又；19. 如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD8，BC6，AB2，E、F分别在BC、AD上，EFAB现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC（）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得
20、CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值【答案】（1）存在点，；（2）当时，三棱锥的最大值.【解析】，故点就是所求的点 7分又 8分20. 已知ACB45，B、C为定点且BC3，A为动点，作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，如图1。连接AB，沿将折起，使BDC90，如图2.（）当A点在何处时，三棱锥ABCD的体积最大；（）当三棱锥ABCD的体积最大时，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小.【答案】（）AC2时，三棱锥的体积最大.（）当时，.与平面所成角的大小.【解析】（）解法1：在如图1所示的中，设，则.由，知，为等腰直角三角形，所以. 2分由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面.又，所以.于是 4分， 5分当且仅当，即时，等号成立，故当BD，即AC2时，三棱锥的体积最大. 6分解法2：同解法1，得. 4分令，由，且，解得. 5分当时，；当时，.所以当时，取得最大值.故当BDx1，即AC2时，三棱锥ABCD的体积最大. 6分设与平面所成角的大小为，则由，可得，即. 12分
