1、第2课时用二分法求方程的近似解课标要点核心素养1通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养1二分法的定义对于在区间a，b上图象连续不断且f（a）f（b）0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法只适用于函数的变号零点（即函数在零点两侧符号相反），因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f（x）=（x-1）2的零
2、点就不能用二分法求解2二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间a，b，验证f（a）f（b）0（2）求区间（a，b）的中点c（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点；若f（a）f（c）0（此时x0（a，c），则令b=c；若f（c）f（b）0（此时x0（c，b），则令a=c（4）判断是否达到精确度：若|a-b|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1）二分法所求出的方程的解都是近似解（）（2）函数f（x）=|x|可以用二分法求零点（）（3）用二分法求函数零点的近似值时，
3、每次等分区间后，零点必定在右侧区间内（）（4）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位（）（5）“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在a，b内的所有零点得到（）解析（1）如函数x-2=0用二分法求出的解就是精确解（2）对于函数f（x）=|x|，不存在区间（a，b），使f（a）f（b）0，所以不能用二分法求其零点（3）函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内（4）二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位（5）零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故不正确答案（1）（2）（3）（4）（5）二分法兴趣探究思考央视“购物街”栏目有猜价格游戏，主持人给出一
4、件商品，让参赛者猜价格在规定的时间内猜中则商品归参赛者所有参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？答案可不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格知识归纳1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间a，b上连续不断；（2）f（a）f（b）0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值考向例题考向一对二分法概念的理解【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分
5、法求函数零点的是（）解析利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点答案B方法技巧：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合考向二用二分法求函数零点【例2】证明函数f（x）=2x+3x-6在区间1，2内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为01）解析由于f（1）=-10，又函数f（x）在1，2内是增函数，所以函数在区间1，2内有唯一零点，不妨设
6、为x0，则x01，2下面用二分法求解（a，b）（a，b）的中点f（a）f（b）f（a+b2）（1，2）15f（1）0f（15）0（1，15）125f（1）0f（125）0（1，125）1125f（1）0f（1125）0（1125，125）11875f（1125）0f（11875）0因为|11875-125|=0062501，所以函数f（x）=2x+3x-6的精确度为01的近似零点可取为125方法技巧：用二分法求函数零点的近似值关键有三点：（1）要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小（2）用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间（3）根据给定的精确度，及时检验
7、所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算考向三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解（精确度为01）解析令f（x）=2x3+3x-3，经计算，f（0）=-30，f（0）f（1）0，所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在（0，1）内有解取（0，1）的中点05，经计算f（05）0，所以方程2x3+3x-3=0在（05，1）内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：（a，b）中点cf（a）f（b）f（a+b2）（0，1）05f（0）0f（05）0（05，1）075f（05）0f（075）0（05，0
8、75）0625f（05）0f（0625）0（0625，075）06875f（0625）0f（06875）0（06875，075）|06875-075|=0062501由于|06875-075|=006250时，f（x）0；当x0所以f（x）=|x|的函数值非负，即函数f（x）=|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点答案C2用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（）Ax1Bx2Cx3Dx4解析由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间a，b，使得f（a）f（b）0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3a，b时均有f
9、（a）f（b）0，故不可以用二分法求该零点答案C3求函数f（x）=x2-5的负零点（精确度为01）解析由于f（-2）=-10，故取区间（-3，-2）作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值（-3，-2）-25125（-25，-2）-22500625（-225，-2）-2125-04844（-225，-2125）-21875-02148（-225，-21875）-221875-00771由于|-225-（-21875）|=0062501，所以函数的一个近似负零点可取-2254用二分法求方程x2-2x-1=0的正解的近似值（精确度为02）解析设f（x）=x2-2x
10、-1因为f（2）=-10，又f（x）在（2，3）内递增，所以在区间（2，3）内，方程x2-2x-1=0有唯一实数根，记为x0取区间（2，3）的中点x1=25，因为f（25）=0250，所以x0（2，25）再取区间（2，25）的中点x2=225，因为f（225）=-043750，所以x0（225，25）同理可得，x0（2375，25）因为|2375-25|=012502，故方程x2-2x-1=0的一个精确度为02的近似正解可取为2.375+2.52=243751观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（）解析只有A中的零点有变号零点，能够用二分法求，其余都没有故选A答案A2用“二分法”可求
11、近似解，对于精确度说法正确的是（）A越大，零点的精确度越高B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关解析由二分法的概念及求解过程可知越大，零点的精确度越低，越小，零点的精确度越高答案B3在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（064）0，f（068）0，则函数的一个精确度为01的正实数零点的近似值为（）A06B075C07D08解析已知f（064）0，则函数f（x）的零点的初始区间为064，072又068=0.64+0.722，且f（068）0，所以零点在区间068，072上，因为|068-072|=00401，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为07，
12、故选C答案C4用二分法研究函数f（x）=x3+ln（x+12）的零点时，第一次经计算f（0）0，可得其中一个零点x0，第二次应计算解析根据二分法的思想，知函数f（x）的零点在区间（0，12）内，第二次计算应计算区间中间值的函数值f（14）答案（0，12）f（14）5用二分法求方程ln（2x+6）+2=3x的根的近似值时，令f（x）=ln（2x+6）+2-3x，并用计算器得到下表：x1001251375150f（x）1079 40191 8-0360 4-0998 9由表中的数据，求方程ln（2x+6）+2=3x的一个近似解（精确度为01）解析因为f（125）f（1375）01，因此需要取（125，1375）的中点13125，两个区间（125，13125）和（13125，1375）中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0062501，因此13125是一个近似解
