1、高三数学试卷（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故，故选A.2. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A.3. 若曲线在点处的切线经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，所以切线的斜率为，切线方程为，所以，选D.4. 已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为 B. 为偶函数C. 的图象关于对称 D. 为奇函数【答案】C【解析】因为，所以周期为，故A 错；，所以不是偶函数，否则在函数值应该是最大值或最小值，故
2、B错；又，所以是图像的对称中心，故C对； ，所以是偶函数，故D错，选C.点睛：（1）判断 是否为的图像的对称轴，我们只需要检验是否成立；（2）判断 是否为的图像的对称中心，我们只需要检验是否成立.5. 某班按座位将学生分为两组，第一组人，第二组人，现采取分层抽样的方法抽取人，再从这人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设，第一组抽取2人，第二组抽取3人，5人中安排两人打扫卫生，共有10种安排方法，两人来自同一组的情况共有4种，故所求概率为.选B .6. 设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】C【解析】因为为等比数列，所以，故原方程可以化为.又该方程有两个相等的实数根，故，解得（舎）或，又，故选C.7. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为，故选D.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的则输出的的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】执行第一次循环后，执行第二次循环后，执行第三次循环后，执行第四次循环后，此时，不再执行循环体，故选C.点睛：对于比较复杂的流程图，可
4、以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.9. 一位数学老师在黑板上写了三个向量，其中都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“与平行，且与垂直”，乙回答：“与平行”，丙回答：“与不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测的值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】法1： 都是非零向量，如果甲正确，乙、丙错误，则，此时 ，解得，故排除C；如果甲、乙错误，丙正确，则 ，也就是，故排除A；如果甲、乙错误，丙正确，则，也就是，故排除B；当时，此时不平行， 平行，三人全错，从而选D .10. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道
5、著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，设水深为，则芦苇长为，故，所以，从而，所以，故或者（舎），所以，选C. 11. 若抛物线的焦点为双曲线虚轴的一个端点，且与相切，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线的焦点为，故，把代入得到，整理有，该方程在有且仅有一个实数根，因其对称轴，故，所以，故
6、，选A.点睛：两个二次曲线相切时，仍是转化为方程组有唯一解去讨论，注意消元时变量的范围.12. 已知，函数若的值域为，则的最大值与最小值之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，分别作出和的图像， 在是减函数且 ，因的值域是，故只能在上取最小值，所以. 又，否则时，时，时，在上无意义. 故的最小值为，最大值为，它们的乘积为，选 B.点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间有最大值，但无最小值，故函数的最小值只能在取得，但是，因此且 ，再根据的最大值为3，得到，所以的最小值为，最大值为，它们的乘积为6.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13
7、. 设变量满足约束条件则的最大值为_【答案】2【解析】可行域如图所示又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，其最大值为直线的斜率，而，故，所以的最大值为 填214. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，且为直角三角形，则圆的标准方程是_【答案】【解析】因为，为直角三角形，故，所以且，故圆的标准方程为填15. 设正项数列满足，则_【答案】11【解析】原递推关系等价于，所以是首项为 ，公差为2的等差数列，所以，故（舎）或者，所以，又，所以填16. 在四棱锥中，底面，底面为正方形， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则_【答案】【解析】设正方形的边长为，设为的中点，因为平面，而平面，所
8、以，又，故，又，故平面，平面，所以，故为直角三角形，为斜边，所以同理也为直角三角形，结合 ，所以，又，所以平面，平面，所以，为直角三角形，所以，为三棱锥 外接球的球心，且半径同理设为的中点，则为四棱锥外接球的球心，且半径，所以填点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥中均为直角三角形，因此外接球的球心就是的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的同理四棱锥外接球的球心就是的中点三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设的内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求的面积.【答案】（1）见解析；（2），解析：（1）证明：，.（2）
9、解：由（1）知.由余弦定理得，所以 或者.又，所以.当时，的面积； 当时， 的面积. 18. 篮球运动员甲在最近场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出行了污渍，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污渍处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均值为.（1）求污渍处的数字；（2）篮球运动员乙在最近场的比赛中所得分数为.试分别以各自场比赛得分的平均数与方差来分析这两名篮球运动员的发挥水平.【答案】（1）7. （2）乙发挥水平更好.【解析】试题分析：（1）设污渍 处的数字分别为，则由题设可知，从而，再利用六个数据的平均值为，可以得到.（2）计算可得两个运动员得分的平均
10、数相同，但甲的方差大于乙的方差，故乙的水平高.解析：（1）设污渍处的数字分别为.由于除掉、 处的数字后剩余个数据的中位数为，故，故污渍处的数字为，所以，故，则污渍处的数字为.（2）甲的得分的平均数为，甲的得分的方差为，乙得分的平均数为，方差为.因为，两人的平均水平相当，但乙的得分波动更小，发挥稳定，故乙发挥水平更好.19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面 为侧棱的中点，且.（1）证明：平面；（2）若点到平面的距离为，且，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接，可以证明平面平面，故 平面.（2）根据已知条件可以证明：平面且为直角三角形，注
11、意底面是直角梯形，从而可以计算，而是直角三角形且有一个角为，故可以计算的长度，从而可以计算的面积，最后求得体积.解析：（1）证明：取的中点，连接.为侧棱的中点，. 平面，平面，故 平面.又, 四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面 . ，.（2）,，平面 ， ，从而到平面的距离为，因，故.过点作于，则.，在中， ，由等积法可得即点到平面的距离为.20. 已知分别为椭圆的右焦点、右顶点，点为坐标原点，射线与的交点为，且.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点（在的上方）. 在轴上的射线分别为，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出，因它在椭圆上，故代入椭圆方程可以得到
12、，再由得到，故，解得，从而可得椭圆方程. （2）设，则可以化为，联立直线和椭圆的方程，再利用韦达定理就可以把转化为关于的方程，解出，最后利用弦长公式计算弦长.解析：（1）,且,即，又点在上，则 ，且，故的方程为.（2）设，将 代入 ，得，由韦达定理有，故，故.21. 已知函数.（1）设函数，讨论在上的单调性；（2）设，若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围为.【解析】试题分析：（1）函数的导数，我们可以分和两类分别讨论导数的符号从而得到不同情形下的函数的单调性.（2）的导函数为，在上有两个不同的实数根，它们分别为，根据的范围可以断定，故分和两类讨论即可. 解析：（1）
13、由题设，故.当时，则在上单调递增；当时，令，得，则的单调递增区间为.令得，则的单调递减区间为.（2），设 的两个零点为，则.当即 时，此时即对恒成立，从而在上单调递增，故.当即 时，令得；令得.在处取得极小值，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，往往需要考虑函数的单调性或极值，两者都涉及到导数的零点，通常按照：零点是否存在？如果零点存在，那么零点是否在给定范围中两个步骤进行分类讨论.22. 在平面角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移个单位长度得到曲线.（1）求曲线的参数方程；（2）已知
14、为曲线上的动点，两点的极坐标分别为，求的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）；（2）.【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线的极坐标方程，把它变形为后利用把后者化为，向左平移2个单位长度后得到曲线 ，其方程为，其参数方程为 （为参数）.（2）两点的直角坐标为，利用（1）算出的曲线的参数方程计算，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）,则曲线的直角坐标方程为，易知曲线为圆心是，半径为的圆，从而得到曲线的直角坐标方程为 ，故曲线的参数方程为 .（2）两点的直角坐标分别为 ，依题意可设 ，则 ，故的最大值为.23. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若不等式的解集为，且，证明：.【答案】（1）3.（2）见解析。【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论分别求出上的函数值的范围，从而得到的最小值.（2）要证明的不等式可以化为，也就是证明同时小于1或同时大于1，只要用零点分段讨论求出不等式的解就可以判断是前者还是后者.解析：（1）当时， ；当 时， ；当时，.（2）由得或或，解得 ，即.点睛：对于要求证的不等式，要善于变形，把其形式向已知的条件转化，变式的手段通常是因式分解、分式化整式或无理式化成有理式等.
