1、2021年广东省梅州市高考数学质检试卷（二模）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1复数z满足（z3）（2i）5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A2+iB2iC5+iD5i2设A，B是非空集合，则“ABA”是“AB”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分条件也非必要条件3设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD4F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左，点P（2，3）在C上1F2F2P，则双曲线C的离心率为（）A2BCD5玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数
2、量很多现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9cm，外径19.6cm（）（单位：cm3）A3300B3700C3900D45006函数f（x）（1）cosx的图象大致形状是（）ABCD7古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1），过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC，连接AC；（2）以C为圆心，交AC于点D；（3）以A为圆心，交AB于点E则点E即为线段AB的黄金分割点若在线段AB上随机取一点F，则使得BEAFAE的概率约为（）（参考数据：2.236）A0.236B0.382C0.472D
3、0.6188设x1，x2，x3均为正数，且2+log2x10，1+2log2x20，12log2x30，则（）Ax1x2x3Bx3x2x1Cx3x1x2Dx2x1x3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9若0，下列不等式中正确的是（）Aa2（1+b）ab（1+a）Ba3+b32ab2CDloga+23logb+1310函数f（x）sin2xcos2x+1（）Af（x）+f（x）2Bf（x）的图象关于x对称C若0x1x2，则f（x1）f（x2）D存在x1，x2，x3，使得f（x1）+f（
4、x2）f（x3）11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA13，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含顶点），若D1MMN，下列命题正确的是（）AMNA1MBMN平面D1MCC线段BN长度的最大值为D三棱锥C1A1D1M体积不变12曲线C：（x2+y2）316x2y2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）A曲线C只有两条对称轴B曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D曲线C上
5、的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为 14为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案，有序组织学生开展课外阅读活动某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 15已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+Sn1，则+ 16已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物
6、线上且位于x轴的两侧，（其中点O为坐标原点），则ABF面积的最小值是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b2ccosB（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，AD2，DB18已知等差数列an的公差为d1，前n项和为Sn，满足S39，a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn2n1，判断an与bn（nN*）的大小，并说明理由192020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织
7、生产和及时供应，支援世界各国抗击肺炎疫情我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产i（单位：百台，i1，2，9），数据作了初步处理，得到如图所示的散点图ti2tizi2.731952851095注：图中日期代码19分别对应9月1日9月9日；表中zie，zi（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线yln（bt+a）的附近（bt+a），并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台参考公式：回归直线方程是v+，参考数据：e5148.420如图，在四棱锥B
8、ACDE中，平面ABC平面ACDE，在直角梯形ACDE中，AECD，AE1，ACCD2（1）求证：EP平面BCD；（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长21已知函数f（x）2alnx+（aR）（1）当a1时，求证：函数f（x）没有零点；（2）若存在两个不相等正实数x1、x2，满足f（x1）f（x2），且x1x21，求实数a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0），直线x+y+210与以椭圆C的右焦点为圆心（1）求椭圆C的方程；（2）BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围参考答案
9、一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数z满足（z3）（2i）5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A2+iB2iC5+iD5i解：（z3）（2i）5，z32+iz5+i，8i故选：D2设A，B是非空集合，则“ABA”是“AB”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分条件也非必要条件解：若AB成立，由韦恩图得到ABA一定成立，反之，若ABA成立，所以AB是ABA的充要条件，故选：C3设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD解：如图所示，以BA，BC为邻边作平行四边形BAMC，可得点P是对角线的交点
10、故选：C4F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左，点P（2，3）在C上1F2F2P，则双曲线C的离心率为（）A2BCD解：F1、F2是双曲线C：1（a0、右焦点，点P在双曲线C上，F2F2F2P，所以，可得a1，c2，所以e2故选：A5玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9cm，外径19.6cm（）（单位：cm3）A3300B3700C3900D4500解：由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为19.6cm，高为9.6cm的
11、圆柱的体积则V19.619.68.84.83497cm3结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为3300cm6故选：A6函数f（x）（1）cosx的图象大致形状是（）ABCD解：f（x）cosxcos（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，B，当0x时，f（x）7，故选：D7古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1），过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC，连接AC；（2）以C为圆心，交AC于点D；（3）以A为圆心，交AB于点E则点E即为线段AB的黄金分割点若在线段AB上随机取
12、一点F，则使得BEAFAE的概率约为（）（参考数据：2.236）A0.236B0.382C0.472D0.618解：由勾股定理可得：AC，由图可知：BCCD1，ADAE1.236，则：8.764AF1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BEAFAE的概率约为0.236，故选：A8设x1，x2，x3均为正数，且2+log2x10，1+2log2x20，12log2x30，则（）Ax1x2x3Bx3x2x1Cx3x1x2Dx2x1x3解：x10，12x111，x22，32x2（8，x2（，1），x38，72x3（8，x3（1，2），x1x2x7故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分
13、，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9若0，下列不等式中正确的是（）Aa2（1+b）ab（1+a）Ba3+b32ab2CDloga+23logb+13解：由8，0ab，对于A，a2（4+b）ab（1+a）a（ab）0，故a4（1+b）ab（1+a）成立；对于B，当a2，a3+b34+2735，2ab232936，故a8+b32ab6不成立；对于C，0，（）2（）62（）0，故；对于D，当a8，loga+23logb+33，故loga+28logb+13不成立故选：AC10函数f（x）sin2xcos2x+1（）Af（x）+f
14、（x）2Bf（x）的图象关于x对称C若0x1x2，则f（x1）f（x2）D存在x1，x2，x3，使得f（x1）+f（x2）f（x3）解：函数f（x）sin2xcos3x+12sin（5x，对于A：由于f（x）2sin（2x）+1，所以f（x）+f（x）2sin（2x2x）+72；对于B：由于f（x）2sin（，令xx）7为最大值；对于C：若0x1x8，则32x8，故f（x）单调递增2）f（x2），故C正确；对于D：设，得到f（x1）+f（x8）4，当时，f（x3）3，故D错误；故选：ABC11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA13，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含顶点），若
15、D1MMN，下列命题正确的是（）AMNA1MBMN平面D1MCC线段BN长度的最大值为D三棱锥C1A1D1M体积不变解：对于A，A1D1平面ABCD，A5D1MN，又MND1M，D8MA1D1D7，MN平面A1D1M，MNA2M，所以A正确；对于B，MNA1M，MN不与A1B垂直，MN不与D2C垂直，MN平面D1MC不成立，所以B错误；对于C，MNA1M，A3AMMBN，A1ABNAMMB，BN；对于D，显然M到平面A1C6D1的距离为3，所以D正确故选：ACD12曲线C：（x2+y2）316x2y2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用
16、，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）A曲线C只有两条对称轴B曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2解：由图知曲线C有4条对称轴，故选项A错误；第一象限内经过的整数点为（1，7），2），1），所以曲线C在第一象限内不经过整数点，结合对称性可知曲线C只经过（5，故选项B错误；由x2+y22xy，（x0，得，所以4（x4+y2）2，x5+y24，故选项C正确；矩形面积，所围成矩形面积的最大值为2故选：CD三、填空题
17、：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为540解：展开式的通项公式为TC，令125r3，解得r3，则展开式中含x3项的系数为C2027540，故答案为：54014为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案，有序组织学生开展课外阅读活动某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为6人解：40名学生得分在低于85分且不低于70分的学生有16人
18、，可或“诗词能手”称号；按分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为15故答案为：6人15已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+Sn1，则+502解：由an+Sn1，可得n1时，a8+S12a71，解得a1，n2时，an6+Sn11，又an+Sn7，两式相减可得anan1+SnSn12，即为anan4，数列an是首项和公比均为的等比数列，则an（）n，Sn1（）n，2n4，则+2+.+26）884910502故答案为：50216已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中点O为坐标原点），则ABF面积的最小值是解：由题意，设直线AB的方程为
19、：xty+m1，y1），B（x8，y2），直线AB与x轴的坐标为M（m，0），可得y2tym0，y8y2m，x1x4y12y42（y1y8）2，2，x6x2+y1y82，即m2m20，m2或4，A，B在x轴的两侧1y2m5，即m2，设A在x轴的上方，则y13，F（，5）|y6y2|，y1+y5，y1y62，S，当t0时故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b2ccosB（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，AD2，DB解：（1）由余弦定理知，cosB，2a+b6ccosB，2a+b2
20、c，即a2+b2c2ab，由余弦定理知，cosC，C（0，），C（2）由角分线定理知，2，设BCx，则AC3x，在ABC中，由余弦定理知2AC2+BC42ACBCcosACB，4x4+x224xx（），解得x7，aBC3，bAC6，cosB，在BCD中，由余弦定理知2BD2+BC22BDBCcosB4+923，CD218已知等差数列an的公差为d1，前n项和为Sn，满足S39，a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn2n1，判断an与bn（nN*）的大小，并说明理由解：（1）由题意，解得a11，d7an1+2（n2）2n1；（2）当n4时，a1b12，当1n3时，an
21、bn，当n5时，令f（x）2x1（7x1），x4，则f（x）2x1ln22，当x4时3ln520，f（x）在5，+）上单调递增，x4时，f（x）f（4）17x1（2x3）0，n4时，bnan综上，当n7时，anbn，当n4时，anbn192020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，支援世界各国抗击肺炎疫情我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产i（单位：百台，i1，2，9），数据作了初步处理，得到如图所示的散点图ti2tizi2.731952851095注：图中日
22、期代码19分别对应9月1日9月9日；表中zie，zi（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线yln（bt+a）的附近（bt+a），并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台参考公式：回归直线方程是v+，参考数据：e5148.4解：（1）9个样本点中日生产量都不高于300台的有5个，高于200台且不高于300台的有6个，设事件A：所取2个点的日生产量都不高于300台，事件B：所取2个点的日生产量高于200台，事件AB：所取3个点的日生产量高于200台且不高于30
23、0台，则P（A），P（AB），P（B|A）（2）yln（bt+a），zeybt+a，5，4，19461，yln（4t8）令ln（4t1）3，解得t，t37.35，所以估计该公司从生产之日起，需要38天呼吸机日生产量可超过500台20如图，在四棱锥BACDE中，平面ABC平面ACDE，在直角梯形ACDE中，AECD，AE1，ACCD2（1）求证：EP平面BCD；（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长【解答】（1）证明：如图，作PQDC交BC于点Q，BPPD，PQ，又AECD，AE2，AEPQ，且AEPQ，得EPAQ，平面ABC平面ACDE，平面AB
24、C平面ACDEAC，CD平面ACDE，CD平面ABC，而CD平面BCD，ABC为等边三角形，Q为BC的中点，AQ平面ABC，平面BCD平面ABC，AQ平面BCD，又EPAQ，EP平面BCD；（2）解：如图，设O是AC的中点，BOAC，作OzAE，AEAC，由平面ABC平面ACDE，可得AE平面ABC，再以，方向为x，则O（0，0，5），0，0），0），0，6），0，2），BPPD，P（，（1，7），0，1），设平面EAB的法向量为（x7，y1，z1），由，取y41，得（，4；点M在线段AC上，设其坐标为M（t，0，其中1t5，（t1，0，（，设平面PEM的法向量为（x2，y2，z2），由，取x
25、52，得（2，2由题意，设平面PEM与平面EAB所成的锐二面角为，则cos|，整理得（t1）71t0或t4，1t1，M（8，0，|MP|21已知函数f（x）2alnx+（aR）（1）当a1时，求证：函数f（x）没有零点；（2）若存在两个不相等正实数x1、x2，满足f（x1）f（x2），且x1x21，求实数a的取值范围解：（1）证明：当a1时，令，解得x1或x2（舍去），当x（0，1）时，函数yf（x）在（3，当x（1，f（x）0，+）单调递增，x3时，f（x）取得最小值，即f（x）1，f（x）在（0，+）没有零点；（2）x5x21，不妨设x71x25，可得，由f（x1）f（x2）得，则，故a0
26、，x1x24，令，则，令，g（1）0，由题意可知，+）上有且只有一个零点，设g（t）7的两根为t1，t2，由t32at+12得t1t22，函数yg（t）在（1，+）有且仅有一个实根，解得a1综上，实数a的取值范围为（322在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0），直线x+y+210与以椭圆C的右焦点为圆心（1）求椭圆C的方程；（2）BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围解：（1）椭圆的右焦点F2（c，0），椭圆C的长半轴长为半径的圆方程为（xc）3+y2a2，圆心到直线x+y+416的距离为，椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，代入得，椭圆C的方程为；（2）设B（m，n），直线OD与椭圆交于A，O为BMN的重心，则BO6ODOA，点B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的8倍，当MN斜率不存在时，点D在x轴上，由|OB|2，得|OD|1，B到直线MN的距离为4；当MN斜率存在时，设M（x1，y1），N（x3，y2），则x1+x8m，y1+y2n，由，两式相减得，直线MN的方程为，化简得6mx+4ny+4n2+3m20，设点O到直线MN的距离为d，则，3m4124n2，0n25，；综上，点B到直线MN的距离的取值范围为
