1、山西省大同市第一中学2019-2020学年高二数学下学期3月网上考试试题 文（含解析）一、选择题1.设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A. 原命题与逆命题均为真命题B. 原命题真，逆命题假C. 原命题假，逆命题真D. 原命题与逆命题均为真命题【答案】B【解析】【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真.【详解】原命题的逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则，等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题的逆命题不正确.【点睛】至少
2、有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.2.设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则若，则若，则若，则其中正确命题的序号是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】A【解析】【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得不正确由此可得本题的答案【详解】解：对于，因为，所以经过作平面，使，可得，又因为，所以，结合得由此可得是
3、真命题；对于，因为且，所以，结合，可得，故是真命题；对于，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有且成立，但不能推出，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确综上所述，其中正确命题的序号是和故选：【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题3.四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】【分析】利
4、用中位线定理可得GESA，则GEF为异面直线EF与SA所成的角，判断三角形为等腰直角三角形即可.【详解】取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF= ，而CE=1EF= ，GE=1，GF=1而GESA，GEF为异面直线EF与SA所成的角EF= ，GE=1，GF=1GEF为等腰直角三角形，故GEF=45故选：B.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D
5、. 【答案】C【解析】试题分析：二次函数对称轴，函数在区间上单调，所以或或考点：二次函数单调性5.若方程在区间（，且）上有一根，则的值为（ ）A. -1B. -2C. -4D. -3【答案】D【解析】【分析】设,转化问题为在（,且）上有一个零点,由可知为相邻两个整数,根据选项,先求得与,再利用零点存在性定理即可判断在上有一个零点,进而求解.【详解】令,则在（,且）上有一个零点,因为,则,所以在上有一个零点,即,所以,故选:D【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,考查转化思想.6.直线l与两直线y1和xy70分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，1)，则直线l的斜率为()A. B. C.
6、 D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率【详解】设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，1），则直线l的方程为y+1=k（x1），联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；联立直线l与xy7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），又线段AB的中点M（1，1），所以+=2，解得k=故选D【点睛】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，
7、考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题7.若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，故选B.考点：比较大小.8.当时,函数的最小值是( )A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答【详解】分子与分母同除以，得，时，的最大值为 综上，的最小值为4故选D【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题9.已知圆C：（x）2+（y2）24（0）及直线l：xy+30，当直线被圆C截得的弦长为时，的值等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，结合垂径定理算出圆心
8、到直线：xy+30的距离d1，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，求解即可【详解】圆C：（x）2+（y2）24的圆心为C（，2），半径r2圆心到直线l：xy+30的距离，被圆C截得的弦长为2时，+（）222，解得d1，因此，1，得或（舍）故选C【点睛】本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置等知识，属于基础题10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.【详解】由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为2.故外接球直径为.
9、故外接球表面积.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出，分成两类，分别利用函数的单调性进行求解【详解】函数是奇函数，在内是增函数，又，且在内是增函数，当时，当时，当时，不等式的解集为综上，的解集为故选【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的综合，所以要求掌握抽象函数的单调性运用，较为基础12.如图是函数在区间上的图像，将该图像向右平移个单位长度后，所得图像关于直线对称，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
10、分析】由函数图像可得函数解析式为：，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为，再结合三角函数图像的对称性可得，再求解即可.【详解】解：由题意可知，所以，根据五点作图法可得，解得，所以，将该函数图像向右平移个单位长度后，得到的图像，又的图像关于直线对称，所以，即，因为，所以当时，取最大值，故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题.二、填空题13.若曲线表示椭圆，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】试题分析:由题设可得且,解之得且,故应填.考点：椭圆的标准方程及运用14.设是上的奇函数，且当时，则当时_【答案】x(1-)
11、【解析】当时，则当时，是上的奇函数故答案为点睛：解本本题的关键是根据奇函数的图像关于原点对称的性质求解的解析式.15.若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，则圆锥的体积是_【答案】【解析】【分析】转化条件得，根据圆锥表面积可列方程，解出后即可求出圆锥的高，即可得解.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，由题意得即.则解得，则，所以该圆锥的高，所以圆锥体积.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的性质及其体积计算，属于基础题.16.已知以F为焦点的抛物线C：上的两点A、B满足，则|AB|_【答案】【解析】【分析】根据可求得直线的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可.【详解】由题,
12、不妨设在第一象限.作分别垂直于准线, 于如图.设,由,可得：,由抛物线的定义知,中, ,故,所以直线的倾斜角为,斜率为.直线方程为,与抛物线方程联立消得 所以,故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.三、解答题： 17.已知中，顶点，点在直线上，点在轴上，求周长的最小值.【答案】【解析】【分析】利用中垂线的性质,设点关于直线的对称点为,点关于轴的对称点为,连接交于点,交轴于点,则此时的周长取最小值,且最小值为,进而求解即可.【详解】解:设点关于直线的对称点为,点关于轴的对称点为,连接交于点
13、,交轴于点,则此时的周长取最小值,且最小值为,如图所示,与关于直线对称,解得,易得，周长的最小值为.【点睛】本题考查点关于直线的对称点的应用,考查利用对称性求最值问题,考查转化思想.18.设,且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值【答案】（1），定义域为；（2）2【解析】【分析】（1）由,可求得的值,结合对数的性质,可求出的定义域;（2）先求得在区间上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）,解得.故,则,解得,故定义域为.（2）函数,定义域为,由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为.【点睛】本题考查了
14、函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知，是球的球面上三点，且，为该球面上的动点，球心到平面的距离为球半径的一半.（1）求三角形外接圆面积；（2）求三棱锥体积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求得，从而求得，再根据正弦定理求得外接圆半径，则面积可求；（2）根据题意，利用勾股定理求得球半径；找到体积最大时点点距离平面的距离，即可求得体积的最大值.【详解】（1）根据题意，作图如下：在中，由余弦定理可得，.设外接圆的半径为，由正弦定理则，得，故所求面积为.（2）设球的半径为，连接，则，解得.由图可知，当点到平面的距离为时
15、，三棱锥的体积最大，三棱锥体积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，以及三棱锥体积的计算，涉及到球半径的求解，属综合基础题.20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求证：平面.【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析.【解析】【分析】（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.【详解】（），且为的中点，.底面为矩形，；（）底面为矩形，.平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.又，、平面，平面，平面，平面平面；（）如图，取中点，连接分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，
16、且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.21.已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t22k)0恒成立，求k的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据解得，根据解得（）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为，求二次函数的最小值得到答案.【详解】
17、（）定义域为的函数是奇函数则，根据，解得 ，经检验，满足函数为奇函数（） 易知为增函数，故为减函数即即 所以 恒成立，即 当时，有最小值 故的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.22.已知抛物线（）的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，即可求得以及抛物线方程；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，结合直线，的斜率之积为，找到直线之间的等量关系，从而证明问题.【详解】（1）因为抛物线（）的焦点坐标为，所以，即.所以抛物线的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，.因为直线，的斜率之积为，所以，化简得.所以，此时直线的方程为.当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，消去得.由根与系数的关系得，因为直线，的斜率之积为，所以，即即，解得（舍去）或.所以，即，所以即综合可知，直线过定点.【点睛】本题考查由焦点坐标求解抛物线方程，以及证明直线恒过定点的问题，属综合中档题.
