1、2016年北京市延庆县高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|0x2，B=x|x21，则AB=（）Ax|0x1Bx|x0或x1Cx|1x2Dx|0x22计算： =（）A1+iB1iC1+iD1i3已知两条直线a，b和平面，若ab，b，则“a”是“b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）ABC2D5执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A2B3C4D56已知双曲线的离心率，且焦点到
2、渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A6B5C4D37已知等比数列an的公比q1，则下面说法中不正确的是（）Aan+2+an是等比数列B对于kN*，k1，ak1+ak+12akC对于nN*，都有anan+20D若a2a1，则对于任意nN*，都有an+1an8如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）根据统计图得出正确判断是（）A近三年该市生产总值为负增长B近三年该市生产总值为正增长C该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015
3、年为正增长D以上判断都不正确二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9抛物线y2=2px（p0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p=10ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a=11在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=12已知，则z=x+4y能取得最（大或小）值为13在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为14已知偶函数f（x），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为三
4、、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数（）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值16在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求ab的概率17如图，已知四棱锥SABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，A
5、BC=60，侧面SAD为正三角形，侧面SAD底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点（）求证：SD平面MAC；（）求证：SEAC；（）求三棱锥MABC的体积18数列an中，a1=1，a2=2，数列bn满足bn=an+1+（1）nan，nN*（）若数列an是等比数列，an=32，求项数n的值；（）若数列bn是常数列，求数列an的前2016项的和S201619已知函数f（x）=ex，xR（）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（）若m0，讨论函数零点的个数20已知椭圆的长轴长为4，离心率（）求椭圆G的方程；（）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段A
6、B的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点问：是否存在直线l使PDC与POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由2016年北京市延庆县高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|0x2，B=x|x21，则AB=（）Ax|0x1Bx|x0或x1Cx|1x2Dx|0x2【考点】交集及其运算【分析】求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集【解答】解：x21解得：x1或x1，B=x|x1或x1，A=
7、x|0x2，AB=x|1x2 故选：C2计算： =（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1i，计算化简即可【解答】解： =1+i故选A3已知两条直线a，b和平面，若ab，b，则“a”是“b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别判断出充分性和不必要性即可【解答】解：若ab，b，a，则b，是充分条件，若ab，b，b，推不出a，不是必要条件，则“a”是“b”的充分不必要条件，故选：A4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）ABC
8、2D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，得到底面为直角三角形，且ACB=90，侧面PBC底面ABC，再由线面垂直的性质可得ACPC，求解直角三角形可得PA，则答案可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，底面为直角三角形，且ACB=90，侧面PBC底面ABC，BPC是等腰三角形，POBC，PO=1，BO=OC=1，AC=1，则ACPC，在RtPOC中，PO=OC=1，PC=，则PB=，在RtPCA中，PA=三棱锥的最长棱的长为故选：B5执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据框图流程依次计算程序运行的结果
9、，根据输出的a的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框的条件【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=1；第二次循环i=2，a=3；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=15；输出的a的值为15，n=4时跳出循环体，判断框内的条件为：n4故选：C6已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A6B5C4D3【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的方程为=1（a，b0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，结合双曲线a，b，c的关系，解方程可得a=3，进而得到双曲线的实轴长2a【解答】解：设双曲线的方程为=1（a，b0），由题意可得e=，可设焦点（c，0）
10、到渐近线y=x的距离为4，可得=b=4，由a2+b2=c2，解得a=3，可得该双曲线实轴长为2a=6故选：A7已知等比数列an的公比q1，则下面说法中不正确的是（）Aan+2+an是等比数列B对于kN*，k1，ak1+ak+12akC对于nN*，都有anan+20D若a2a1，则对于任意nN*，都有an+1an【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列的通项，对选项分别进行分析，即可得出结论【解答】解：对于A，an+2+an是公比为q2的等比数列，正确；对于B，对于kN*，k1，ak1+ak+1=+akq，q1，ak1+ak+12ak，正确对于C，anan+2=an2q20，正确；对于D，若a
11、2a1，a1，则对于任意nN*，都有an+1an，故不正确，故选：D8如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）根据统计图得出正确判断是（）A近三年该市生产总值为负增长B近三年该市生产总值为正增长C该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D以上判断都不正确【考点】简单随机抽样【分析】由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故可知答案【解答】解：由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故近三年该市生产总值为正增长，故选：B
12、二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9抛物线y2=2px（p0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p=2【考点】抛物线的简单性质【分析】依题意知，其准线方程为：x=，利用定义，将抛物线上的点到焦点的距离，转化为它到准线的距离即可【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为：x=，由抛物线的定义知，2（）=3，解得：p=2，故答案为：210ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a=【考点】余弦定理【分析】由已知及同角三角函数基本关系式可得sinB的值，利用正弦定理即可解得a的值【解答】解：B（0，），cosB=，可得：sinB=，又A=30，b=2，由正弦定理可得：a=故
13、答案为：11在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=0【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】根据条件求出然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出【解答】解：=22（3，1）=（4，2）=（1，2）（4，2）=4+4=0故答案为012已知，则z=x+4y能取得最大（大或小）值为1【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，变形目标函数，平移直线y=x数形结合可得【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（7，2）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：1，故答案为：大；113在样本的频率分布直方图中，共
14、有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360【考点】频率分布直方图【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d=1 解得d=，中间一组的频数为：1600（0.02+4d）=360故答案为：36014已知偶函数f（x
15、），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为1，0，或1【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象【分析】根据g（x）的图象便可得到1y01，而由f（x）的图象及f（y0）=0便可得出y0=0，从而便可由g（x）的图象和g（x0）=0即可解出x0的值【解答】解：根据g（x）的图象得，1y01；由f（x）的图象及f（y0）=0得，y0=0；g（x0）=0；x0=1，0，或1故答案为：1，0，或1三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数（）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（）当x，时，求函数f
16、（x）的最小值和最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x）1，由周期公式可得周期，解2k2x2k+可得单调增区间；（）由x，可得2x，可得sin（2x），1，可得答案【解答】解：（）化简可得=sin2x（1+cos2x）=sin2xcos2x1=sin（2x）1，f（x）的最小正周期T=，由2k2x2k+可得kxk+函数的单调增区间为k，k+kZ；（）当x，时，2x，sin（2x），1，函数f（x）的最小值和最大值分别为1和016在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽
17、粒数制成如图所示的茎叶图：（）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求ab的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（）由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些（）先求出甲种水稻单株籽粒数的平均数，由此能估计估计甲种水稻亩产约为多少公斤（）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，先求出基本事件总数，再求出ab包含的基本事件个数，由此能求出ab的概率【解答】解：（）由茎叶图
18、得种水稻单株籽粒数更稳定一些（）估计甲种水稻亩产约为：=1092（公斤）（）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，基本事件总数n=66=36，ab包含的基本事件个数：m=2+2+4+5+6=19，ab的概率p=17如图，已知四棱锥SABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，ABC=60，侧面SAD为正三角形，侧面SAD底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点（）求证：SD平面MAC；（）求证：SEAC；（）求三棱锥MABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）连接BD交AC于O，连接MO，由三角形中
19、位线定理可得OMSD，然后由线面平行的判定得答案；（）由侧面SAD为正三角形，E为线段AD的中点，可得SEAD，结合侧面SAD底面ABCD，得SE底面ABCD，则SEAC；（）由已知求出，再由M为SB的中点，得M到底面的距离为，代入三棱锥体积公式求得答案【解答】（）证明：连接BD交AC于O，连接MO，底面ABCD是菱形，O为BD的中点，又M为侧棱SB的中点，OMSD，又OM面MAC，SD面MAC，SD平面MAC；（）证明：SAD为正三角形，E为线段AD的中点，SEAD，又侧面SAD底面ABCD，且侧面SAD底面ABCD=AD，SE底面ABCD，而AC底面ABCD，SEAC；（）解：底面ABCD
20、是边长为2的棱形，ABC=60，ABC为边长是2的正三角形，则，又SAD为边长是2的正三角形，SE=，由（）知SE底面ABCD，即S到底面的距离为，M为SB的中点，M到底面的距离为，18数列an中，a1=1，a2=2，数列bn满足bn=an+1+（1）nan，nN*（）若数列an是等比数列，an=32，求项数n的值；（）若数列bn是常数列，求数列an的前2016项的和S2016【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出（II）由数列bn是常数列，可得b1=a2a1=1利用an+1+（1）nan=1，nN*可得a2k+1+a2k=1，a2ka2k1=1，k
21、N*a2k+1=a2k1，a2k+a2k+2=2分组求和即可得出【解答】解：（I）数列an是等比数列，an=32=2n1，解得n=6（II）数列bn是常数列，b1=a2a1=1，an+1+（1）nan=1，nN*a2k+1+a2k=1，a2ka2k1=1，kN*a2k+1=a2k1，a2k+a2k+2=2数列an的前2016项的和S2016=（a1+a3）+（a5+a7）+（a2013+a2015）+（a2+a4）+（a2014+a2016）=0+2504=100819已知函数f（x）=ex，xR（）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（）若m0，讨论函数零点的个数【考点】利用导数研究曲线上某
22、点切线方程；函数零点的判定定理【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（）由g（x）=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：（）函数的导数f（x）=ex，则f（1）=e，f（1）=e，则函数f（x）在x=1处的切线方程ye=e（x1），即y=ex；（）由=0，得m=，设h（x）=，则h（x）=，当x0时，h（x）0，此时函数单调递增，且h（x）0，当x2时，h（x）0，此时函数单调递增，当0x2时，h（x）0，此时函数单调递减，即当x=2时，函数h（x）取得极小值h（2）=，作出函数h
23、（x）的草图如图：当m0时，若m时，h（x）=m有3个不同的根，即函数g（x）有3个不同的零点，若m=时，h（x）=m有2个不同的根，即函数g（x）有2个不同的零点，若0m时，h（x）=m有1个不同的根，即函数g（x）有1个不同的零点20已知椭圆的长轴长为4，离心率（）求椭圆G的方程；（）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段AB的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点问：是否存在直线l使PDC与POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得2a=4
24、，即a=2，e=，可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，求得B的坐标，再由中点坐标公式可得D，求得线段AB的中垂线方程，可得P，Q的坐标，假设存在直线l，使PDC与POQ的面积相等（O为坐标原点），运用三角形的面积公式，可得=，即有=，解方程即可得到所求k的值，进而判断存在直线l【解答】解：（）由题意可得2a=4，即a=2，e=，解得c=，b=1，可得椭圆的方程为+y2=1；（）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=，或x=0即有B（，），中点D的坐标为（，），可得AB的中垂线方程为y=（x+），化为y=x，可得P（，0），Q（0，），假设存在直线l，使PDC与POQ的面积相等（O为坐标原点），即有PDPCsinDPC=POPQsinOPQ，即有PDPC=POPQ，即为=，即有=，即有=3，解得k=故存在直线l，且l的方程为y=x+1，使PDC与POQ的面积相等（O为坐标原点）2016年6月21日