1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习专题之转化与化归思想 课前引入匈牙利著名数学家罗莎彼得在他的名著无穷的玩艺中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只
2、有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”“把水倒掉”，把追加的新问题转化为已解决的老问题，这就是化归，这就是数学家常用的方法。化归的意义：转化与归结（把待解决的问题转化归结为已解决的问题）教学目标掌握常见的转化方法知识梳理 高中常见的转化方法：正与反的转化常量和变量的转化特殊与一般的转化等与不等的转化陌生与熟悉的转化典例精讲 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。例1、 （）已知函数在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而
3、其反面为没有零点，比较容易处理。解：（法一）当函数在（0，1）内没有零点时在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，. 而当（0，1）时，得。 要使，必有来源:Zxxk.Com 故满足题设的实数的取值范围是 （法二）设，对称轴为，注意到，故对称轴必须在轴的右侧。 (1) 当时，即，有，此时；(2)当时，有此时有。综合（1）（2）得实数的取值范围是 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例2、 （）已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点.分析：若从曲线的角
4、度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b). 解：设点()在曲线上,则整理得 可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程在和(4,9)内分别有一根,即对 平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.来源:学.科.网 一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例3、 （）已知向量， 若，满足，则的面积等于 。 分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由条件可得。利用特殊值，如设代 入
5、，则，故面积为1。例4、（）已知函数,求来源:学科网的值. 分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系. 解: = =来源:学科网ZXXK 于是 = = 相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。例5、（可选）（）已知都是实数，且求证：。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求与之间的关系。 解：， 。 又，且即。 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程
6、，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。例6、（）对任意函数可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： 输入数据，经数列发生器输出； 若，则数列发生器结束工作；若则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义。若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；若输入时，产生的无穷数列，满足对任意正整数n均有，求的取值范围。分析：此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。解：（1）的定义域，来源:学科网 数列只有三项， （2），即， 故当时，（3）解不等式，得或，要使，则或对于函数，若则；若则且依此类推可得数列的所有项均满足综上所述，由，得回顾总结由以上几种典型题型的剖析足以说明掌握好化归与转化的思想方法对学好高中数学是非常有帮助的，它可以帮助我们寻找到一些简单的方法来解决一些较为复杂的题目。但我们在应用化归与转化的思想方法还应注意它的三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；1、 转化到何处，即转化的目标；如何进行转化，即转化的方法。
