1、延庆区20192020学年第二学期期末试卷 高 二 数 学 2020.7本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设全集，集合，则集合（A） （B） （C） （D）2焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（A） （B） （C） （D）3. 已知向量，.若，则的值为（A） （B） （C） （D）4设，则（A） （B） （C） （D）5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（A） （B） （C） （D） 6. 圆截轴所得弦的长度等于（A
2、） （B） （C） （D） 7已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（A）若，则 （B）若，则（C）若,且,则（D）若，则8. 已知函数，则“在上单调递减”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件9将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（A） （B） （C） （D） 10已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：对任意的，且，都有；是偶函数；若，则， 的大小关系正确的是 （A） （B） （C） （D）第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知复数，则 12
3、双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 .13数列中，. 若其前项和为，则_ _.14在中，则边上的高等于 .15已知函数： 函数的单调递减区间为； 若函数有且只有一个零点，则； 若，则，使得函数恰有2个零点，恰有一个零点，且，.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为. 又，且，是否存在大于的正整数,使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.17.（本小题满分14分）已知函数（）求函数的最小正周期和单调递减区间；（）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围18.
4、（本小题满分14分）在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：(500,1000403020100(0,500(1000,1500(1500,20002500,3000(2000,2500(820253584消费金额/元人数（）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；（）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取2
5、5位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次 每翻到一次笑脸可得30元奖励金如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由19.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，
6、平面，为线段上一点（不是端点），_ . 从；平面；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（）求证：四边形是直角梯形；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 20.（本小题满分15分）已知函数.（）求函数的单调区间；（）求证：当时，；（）当时，若曲线在曲线的下方，求实数的取值范围.21. （本小题满分14分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，、分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点、的点（）求出椭圆的标准方程；（）设点满足：，求与面积的比值 高二数学答案及评分标准 2
7、020.7一、选择题：（） 1.A 2.D 3 . C 4.B 5. A 6. A 7. D 8.B 9.D 10. C二、填空题：（）11. 12. ；13. ；14. ；15. .注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共5小题，共85分.16.（本小题满分14分）解：存在正整数,使得. (此处未写，结论处有，不扣分) 2分理由如下：在等差数列中， 5分又，.所以由 得 7分所以. 10分令，即.整理得.解得或. 12分因为，所以. （未写k1扣一分） 14分所以当时，. 17. (本小题满分14分） 解：（）因为= 3分 所以函数的最小正周期 4分因
8、为函数的的单调递减区间为， 所以, 6分解得, 7分所以函数的单调递减区间是. 8分(一个都没写的扣一分)（）由题意可知，不等式有解，即 10分由（）可知.当时, 11分故当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. 13分所以.故实数的取值范围是. 14分 18. （本小题满分14分）（）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A. 1分由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人）， 从这12人中抽取3人，共有种不同方法， 2分其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法 所以， 4分
9、 （）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为， 5分按照方案1奖励的总金额为（元） 6分 方案2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，30，60，907分 由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为， 8分所以，0306090所以的分布列为： 10分数学期望为（元）， 12分 按照方案2奖励的总金额为 （元）， 13分 因为由，所以施行方案1投资较少 14分19. (本小题满分14分）解：（）选择，连结，因为平面， 所以， .1分因为，所以 .2分因为，所
10、以，所以. 3分因为，所以， 所以四边形是直角梯形. .4分选择，连结，因为平面， 所以， .1分因为，所以 .2分因为，所以，所以. 3分因为平面，平面，平面平面，所以， 所以四边形是直角梯形. .4分（）在平面内过作,则平面，由（）知，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,.5分则，.则,， .6分设平面的一个法向量，则即7分令，则，则 8分设直线与平面所成的角为，所以. 9分所以直线与平面所成角的正弦值为. （）设，则 10分所以 ， 11分若平面，则， 12分即，所以 13分因为，所以，线段上不存在点使得直线平面 14分20. (本小题满分15分）（）因为，定义域R，所以
11、. 2分令，解得，令，解得 3分 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 4分（）令， 5分 . 6分由得， ，于是，故函数在上是增函数. 7分所以当时，即. 9分（）若曲线在曲线的下方，则 10分令，则. 11分当时，解法一：因为，所以由（）知.13分 解法二：因为，所以，且，则，所以，在上是增函数. 所以，符合题意. 13分 当时，若，则，那么，所以，则在上是减函数. 所以时，不合题意. 15分综上所述，实数的取值范围是. 21. (本小题满分14分）（）由题意，得，. 2分； 又因为， 3分 所以，. 4分；故椭圆的方程为. 5分（）因为两个三角形的底边均为，所以面积之比等于 6分解法一：由P是椭圆上异于点、的点可知, 直线的斜率存在且不为0设直线的斜率分别为，则直线的方程为 7分 由直线的方程为 8分 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以 9分 所以 11分 由，所以直线的方程为 12分 由 ，得 13分 所以 14分 解法二：设，则， 7分且，因为， 8分所以，则直线， 9分同理直线， 10分与联立，解得：， 12分将带入，得， 13分所以 14分
