1、北京市延庆区2019届高三数学第一次模拟考试试题 理本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（A） （B） （C） （D）2.“”是“方程表示双曲线”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3. 已知，令，那么之间的大小关系为（A） （B） （C） （D） 4函数在区间上的零点之和是（A） （B） （C） （D）5已知数列中，若利用下面程序框图计算该数列的第2019项，则判断框内的条件是（A） （B） （C）
2、 （D）6. 已知曲线（为参数），若曲线上存在点为曲线上一点，则实数 的取值范围为 （A） （B） （C） （D）7. 已知一个正四面体的底面积为，那么它的正视图（如右图）的面积为（A） （B） （C） （D）8.名运动员参加一次乒乓球比赛，每名运动员都赛场并决出胜 负设第位运动员共胜场，负场（），则错误的 结论是（A）（B）（C）为定值，与各场比赛的结果无关（D）为定值，与各场比赛结果无关 第卷（非选择题）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知等比数列的公比为，若，则_. 10. 设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为_. 11. 如右图，正方形中，为的中点，若，则的值为_
3、. 12. 设是定义在上的单调递减函数，能说明“一定存在使得”为假命题 的一个函数是_13. 已知,设，则_.14. 已知集合 ，集合满足 每个集合都恰有7个元素 ; 集合中元素的最大值与最小值之和称 为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为 .三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分） 如图，在中，点在边上，ADBC（）若， 求的长及的面积16.（本小题满分13分） 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.
4、单位：平方米.2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率； （）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 均住房建筑面积4平方米的年数，求的分布列和数学期望；（）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016年
5、中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小（只需写出结论）.17（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，, 分别为的中点，点在线段上.（）求证：直线平面；（）若为的中点，求平面与平面 所成二面角的余弦值；（）设，当为何值时，直线与平面 所成角的正弦值为，求的值.18.（本小题满分13分） 已知函数在点处的切线与直线平行.（）求的值； （）令，求函数的单调区间.19.（本小题满分14分） 已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆交于两个不同的点，直线， 与轴分别交于，两点，求证：20.（本小题满分1
6、3分）已知集合对于，定义与之间的距离为（），写出所有的；（）任取固定的元素，计算集合中元素个数；（）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最小值为 证明： 延庆区20182019学年度一模统一考试答案数学（理科） 2019.3 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案CAABCBDD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分）9 10 11. 12. 13 14三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（本小题满分13分）解：（）因为， 所以，1分 2分 又因为，所以，3分 5分 7分（）在中，由，9分 得11分 12分 所以 13分16.（本小题满分13分
7、）（）随机抽取连续两年数据：共9次。1分 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。2分设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件，因此 3分（） 所有可能的取值为：0，1，2，3 4分 8分随机变量的分布列为0123 10分 11分（） 13分.17（本小题满分14分）（）证明：在平行四边形中，因为，所以. 由分别为的中点，得， 所以. 1分 因为侧面底面，且，面面 且面 所以底面. 3分 又因为底面，所以. 4分 又因为，平面，平面， 所以平面. 5分 （）解：因为底面，所以两两垂直，故以 分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 则， 6分 设平面的法向量为， 由
8、，得 令, 得. 7分 为的中点，由（1）知，平面 且， 8分 所以， 9分 平面与平面所成二面角的余弦值；10分（） 设，则， 所以， 11分 ，12分 由（1）知. 直线与平面所成的角正弦值为 所以，即， 13分 解得. 或 （舍） 14分18.（本小题满分13分）解：（） 1分 2分在点处的切线与直线平行 解得 4分（）由（）可知 5分函数的定义域是， 6分所以，7分令， 8分又，9分有恒成立故在上为增函数， 由， 所以函数是上单调递减 11分 有恒成立故在上为减函数， 由， 所以函数是上单调递减 13分 综上， 在 和 单调递减 19.（本小题满分14分）解：（）在椭圆上 由 解得 3分所以，椭圆的标准方程为 4分 ()由得5分 因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点， 所以解得或6分设，则，,8分，10分显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，由（）可知则 11分因为，所以 13分 所以 14分20.（本小题满分13分）解 （） 4分（）当时，5分 当时， 6分 写出，7分 特别的， 所以 元素个数为 8分（）记， 我们证明一方面显然有另一方面，且， 假设他们满足则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾 从而 这表明中任意两元素不相等从而 又中元素有个分量，至多有个元素 从而证毕13分
