1、课时分层作业(十)数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4C由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2已知f(n)，则()Af(n)共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)D结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).3用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21
2、)(k22)(k23)(k1)2D当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立D对于A，若f(3)9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错；对于B，若f(5)25成立，则当k5时均有
3、f(k)k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)k2成立”5k(k3，且kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1Bf(k)kCf(k)k1Df(k)k2C三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面，五棱柱有5个对角面，六棱柱有9个对角面，猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面二、填空题6若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f
4、(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2，即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上_因为当nk时，左端1，当nk1时，左端1.所以，左端应在nk的基础上加上.8已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)，依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_SnS11，S2，S3，S4，猜想Sn.三、解答题9用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN)证明(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(
5、k1)1k22k1(k1)2.也就是说，当nk1时等式成立根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立10用数学归纳法证明：11)证明(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立11用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN)时正确，再推nk2时
6、正确Bn为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设n2k1(kN)时正确，再推出n2k1时正确故选B.12对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(n2)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边增加了两项_和_，减少了一项_nk时，左边为，nk1时，左边为，比较可知增加了两项：和，减少了一项.14已知f(n)1(nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数的个数为_2k观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f
7、(2k)多了2k项15设函数yf(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN)的表达式，并用数学归纳法加以证明解(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1，f(2)f(11)1124，f(3)f(21)412219，f(4)f(31)9123116.(3)猜想f(n)n2，下面用数学归纳法证明当n1时，f(1)1满足条件假设当nk(kN)时成立，即f(k)k2，则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2，从而可得当nk1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)n2.
