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2020-2021学年新教材高中数学 第五章 数列 5.5 数学归纳法课时分层作业(含解析)新人教B版选择性必修第三册.doc

1、课时分层作业(十)数学归纳法(建议用时:40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3,nN),第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4C由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n3是否成立2已知f(n),则()Af(n)共有n项,当n2时,f(2)Bf(n)共有n1项,当n2时,f(2)Cf(n)共有n2n项,当n2时,f(2)Df(n)共有n2n1项,当n2时,f(2)D结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n1,n2的连续自然数共有n2n1个,且f(2).3用数学归纳法证明123n2,则当nk1(nN)时,等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21

2、)(k22)(k23)(k1)2D当nk时,等式左边12k2,当nk1时,等式左边12k2(k21)(k1)2,故选D.4设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k1)(k1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B若f(5)25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立C若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D若f(4)25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立D对于A,若f(3)9成立,由题意只可得出当k3时,均有f(k)k2成立,故A错;对于B,若f(5)25成立,则当k5时均有

3、f(k)k2成立,故B错;对于C,应改为“若f(7)49成立,则当k7时,均有f(k)k2成立”5k(k3,且kN*)棱柱有f(k)个对角面,则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1Bf(k)kCf(k)k1Df(k)k2C三棱柱有0个对角面,四棱柱有2个对角面,五棱柱有5个对角面,六棱柱有9个对角面,猜想:若k棱柱有f(k)个对角面,则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面二、填空题6若f(n)122232(2n)2,则f(k1)与f(k)的递推关系式是_f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2f(k)1222(2k)2,f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2,f

4、(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2,即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7用数学归纳法证明1,则当nk1时,左端应在nk的基础上加上_因为当nk时,左端1,当nk1时,左端1.所以,左端应在nk的基础上加上.8已知数列an的前n项和为Sn,且a11,Snn2an(nN*),依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为_SnS11,S2,S3,S4,猜想Sn.三、解答题9用数学归纳法证明:13(2n1)n2(nN)证明(1)当n1时,左边1,右边1,等式成立(2)假设当nk(k1)时,等式成立,即13(2k1)k2,那么,当nk1时,13(2k1)2(k1)1k22(

5、k1)1k22k1(k1)2.也就是说,当nk1时等式成立根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立10用数学归纳法证明:11)证明(1)当n2时,左边1,右边2,左边右边,不等式成立(2)假设当nk时,不等式成立,即1k,则当nk1时,有1kkk1,所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知,对于任意大于1的正整数n,不等式均成立11用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN)时正确,再推n2k3时正确B假设n2k1(kN)时正确,再推n2k1时正确C假设nk(kN)时正确,再推nk1时正确D假设nk(kN)时正确,再推nk2时

6、正确Bn为正奇数,在证明时,归纳假设应写成:假设n2k1(kN)时正确,再推出n2k1时正确故选B.12对于不等式n1(nN),某学生的证明过程如下:(1)当n1时,11,不等式成立;(2)假设当nk(kN)时,不等式成立,即k1,则当nk1时,(n2)的过程中,由nk递推到nk1时,不等式的左边增加了两项_和_,减少了一项_nk时,左边为,nk1时,左边为,比较可知增加了两项:和,减少了一项.14已知f(n)1(nN*),证明不等式f(2n)时,f(2k1)比f(2k)多的项数的个数为_2k观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,f(2k)1,而f(2k1)1.因此f(2k1)比f

7、(2k)多了2k项15设函数yf(x)对任意实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在(2)的条件下,猜想f(n)(nN)的表达式,并用数学归纳法加以证明解(1)令xy0,得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1,f(2)f(11)1124,f(3)f(21)412219,f(4)f(31)9123116.(3)猜想f(n)n2,下面用数学归纳法证明当n1时,f(1)1满足条件假设当nk(kN)时成立,即f(k)k2,则当nk1时,f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2,从而可得当nk1时满足条件,所以对任意的正整数n,都有f(n)n2.

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