1、考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()A.30B.60C.150D.1202.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k30,c0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,求12a+2c的最小值.三、探究创新17.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a0,b0),若f(3-x)=f(3+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为()A.4B.3C.23D.3418.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂
2、心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则ABC的欧拉线的方程为()A.4x+2y+3=0B.2x-4y+3=0C.x-2y+3=0D.2x-y+3=0考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.B设直线的倾斜角为,斜率为k,化直线方程为y=3x+a,则k=tan=3.故=60.2.D直线l1的倾斜角是钝角,则k1k30,所以k1k3k2.3.C当直线l不经过原点时,设其方程为x+y=a(a0),因为直线l经过点A(2,1),所以2+1=a,即a=3,故直线l的方程为
3、x+y=3,即x+y-3=0.当直线l经过原点时,斜率为1-02-0=12,故其方程为y=12x,即x-2y=0.综上,直线l的方程为x+y-3=0或x-2y=0.4.A因为l1l2,所以kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8.因为l2l3,所以-1n(-2)=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.5.C如图所示,kPN=1-(-2)1-(-3)=34,kPM=1-(-3)1-2=-4,要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90时,kkPN;当l的倾斜角大于90时,kkPM,k34或k-4.6.3x-2y=0或x-y+1=0当直线过原点时,方程为y=32x,即3x-2y=0.当直线l不
4、过原点时,设直线方程为xa-ya=1.将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.7.-13直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,m+31=2m-1-8-1,解得m=-1.直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,1(m+3)+(-1)2m=0,解得m=3.8.x+y-3=0验证知点M(1,2)在圆C内,当ACB最小时,直线l与CM垂直,kCM=4-23-1=1,kl=-1,直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0.9.解设点A(xA,yA)在直线l1上
5、,点B(xB,yB)在直线l2上.由题意知xA+xB2=3,yA+yB2=0,则点B的坐标为(6-xA,-yA),将点A,B的坐标分别代入各自所在直线的方程,得2xA-yA-2=0,(6-xA)+(-yA)+3=0,解得xA=113,yA=163,则所求直线的斜率k=163-0113-3=8,故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.10.解(1)点B(5,3),D(3,-1),线段BD的中点M的坐标为(4,1).AB所在直线的方程为x-y-2=0,ABAC,kAC=-1.对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.(2)由x+y-5=0,x-y-2=0,
6、解得A72,32,kAD=-1-323-72=5.BCAD,kBC=5.BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.11.D因为l1l2,所以sin-3cos=0,所以tan=3,所以sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=35.12.A由y=2-x2,得x2+y2=2(y0),它表示以原点O为圆心,2为半径的圆的一部分,如图所示.显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=|-2k|1+k2,弦长|AB|=22-|-2k|1+k22=22-2k21+k2,所以SAOB=12|-
7、2k|1+k222-2k21+k2(2k)2+2-2k22(1+k2)=1,当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=13时等号成立.由图可知k0,所以点A(-1+2kk,0),B(0,1+2k),故S=12|OA|OB|=121+2kk(1+2k)=12(4k+1k+4)12(4+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.16.解将点P(1,m)的坐标代入动直线l0的方程,得a+bm+c-3=0.又点Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,则有|PQ|=3.(4-1)2+m2=3,解得m=0.a+c=3.又a0,c0,12a+2c=13(a+c)(12a+2c)=13(52+c2a+2ac)13(52+2c2a2ac)=32,当且仅当a=1,c=2时取等号.所以12a+2c的最小值为32.17.C由f(3-x)=f(3+x)知函数f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(0)=f23,得a=-3b,则直线ax-by+c=0的斜率为k=ab=-3,所以直线的倾斜角为23.故选C.18.B因为|AC|=|BC|,所以ABC的欧拉线为AB的垂直平分线.又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为(12,1),kAB=-2,故AB的垂直平分线方程为y-1=12(x-12),即2x-4y+3=0.
