1、第一部分专题一第4讲题型对应题号1.导数的运算与几何意义2,3,8,12,142.利用导数研究函数的性质1,6,7,9,103.利用导数解决与不等式有关的问题4,5,11,13,15 基础热身(建议用时：40分钟)1函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0B1 C2D无数个A解析 函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，而g(x)6x22x10的200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点故选A项2(2019福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()AeB2C2DeB解析 由已知得f
2、(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.故选B项3(2019广东广州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()Aln 2B1C1ln 2D1ln 2D解析 由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2.故选D项4已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()Af(a)f(1
3、)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，而f(0)e00210，所以函数f(x)的零点a(0,1)；由题意知g(x)10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)ln 11210，所以函数g(x)的零点b(1,2)综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上单调递增，所以f(a)f(1)0时，有0的解集是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)D解析 当x0时，0，所以(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，所以当0x0，即f(x)0，此时x2f(x)0.又f(
4、x)为奇函数，所以h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)故选D项6(2019湘赣十四校联考)已知f(x)x1，g(x)ln x，若f(x1)g(x2)，则x2x1的最小值为()A1B2C2ln 2D2ln 2B解析 设f(x1)g(x2)t，所以x1t1，x2et，所以x2x1ett1.令h(t)ett1，则h(t)et1，所以h(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以h(t)minh(0)2.故选B项7已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_解析 因为f(x)x2ax3，
5、x(0,1)，则f(x)2xa，依题意可知f(x)0在(0,1)上恒成立，故f(1)2a0，得a2.因为g(x)x2aln x，x(1,2)，则g(x)2x，依题意可知g(x)0在(1,2)上恒成立，故g(1)0，得a2，故a2.答案 28(2019河北石家庄模拟)已知函数f(x)x33x，若过点M(2，t)可作曲线yf(x)的两条切线，且点M不在函数f(x)的图象上，则实数t的值为_解析 f(x)x33x的导函数为f(x)3x23，假设过点M(2，t)的切线斜率为k，则有k3x3，可得2x6x6t0，因为过点M有两条切线，即2x6x6t0有两个不相等的实数根，可令y2x36x26t，则该函数
6、恰好有两个零点，又y6x212x，由导函数的性质知函数的两个极值点为x10，x22，极值分别为y16t，y2t2，当且仅当只有一个极值为零时，函数才刚好有两个零点，所以y16t0或y2t20，即t6或t2，所以t的值为6或2.答案 6或29(2019吉林东北师大附中模拟)已知f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析 因为f(x)x3x，所以有f(x)x21(x1)(x1)当x0时，对任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|e2恒成立，求a的取值范围解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)axa1，当a0时，若x(0,1)，则f(x)0，所以f(x)在(
7、1，)上单调递增当a0时，若x(0,1)，则f(x)0，所以f(x)在(1，)上单调递增(2)因为|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以f(x)maxf(x)mine2，由(1)知，f(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增，所以f(x)minf(1)1a.因为fea与f(e)ea2a，所以f(x)maxmax.设g(a)f(e)feaea2a(a0)，则g(a)eaea2220，所以g(a)在(0，)上单调递增，故g(a)g(0)0，所以f(e)f，从而f(x)maxf(e)ea2a，所以ea2a(1a)e2，即eaae10.设(a)eaae1(a0)，则(a)ea1，当
8、a0时，(a)0，所以(a)在(0，)上单调递增，又(1)0，所以eaae10等价于(a)(1)，则a1.因为a0，所以a的取值范围为(0,1 能力提升(建议用时：25分钟)12(2020四川绵阳检测)已知实数a，b满足2a25ln ab0，cR，则的最小值为()AB CDC解析 的最小值的几何意义是点(a，b)到点(c，c)的距离的最小值，而点(a，b)是曲线y2x25ln x上任一点，点(c，c)是直线xy0上任一点，故求最小值即是求曲线y2x25ln x上一点到直线xy0距离的最小值由导数的几何意义可知曲线y2x25ln x上有一切线的切点到直线xy0的距离最小，由y4x1得x1，故切点
9、为(1,2)，所以d.故选C项13定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为_解析 令g(x)，则导函数g(x).由题意得导函数g(x)g(x)，即g(x)0，所以原不等式的解集为x|x0答案 x|x014(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_解析 设点A(x0，y0)，则y0ln x0.又y，当xx0时，y，则曲线yln x在点A处的切线为yy0(xx0)，即yln x01，将点(e，1)代入，得1ln x01，即x0ln
10、x0e，令H(x)xln x，当x(0,1)时，H(x)0，且H(x)ln x1，当x1时，H(x)0，H(x)单调递增，注意到H(e)e，故x0ln x0e存在唯一的实数根x0e，此时y01，故点A的坐标为(e,1)答案 (e,1)15(2020河南名师联盟调研)设函数f(x)(aR，bR)(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，试用a表示b，并求函数f(x)的减区间；(2)若a1，b1，证明：当x0时，f(x)(2x1)解析 (1)f(x)的导函数f(x)，由题意知f(1)(1a2ab)e0，得b2a3.此时有f(x).由x1是函数f(x)的一个极值点，可知3a1，得a4.当3a1，即a4时，令f(x)3a或x4时，函数f(x)的减区间为(，3a)，(1，)(2)证明：由题意有f(x)，要证f(x)(2x1)(x0)，只要证(2x1)exe(x2x1)0(x0)，令g(x)(2x1)exe(x2x1)(x0)，有g(x)(2x1)exe(2x1)(2x1)(exe)，则函数g(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)，则g(x)ming(1)0，故g(x)0.故不等式f(x)(2x1)成立