1、考点规范练35空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩固1.经过空间不共线的四点,可确定的平面个数是()A.1B.4C.1或4D.1或3答案:C解析:当这四个点在一个平面内时,确定一个平面;当三个点在一个平面内,另一个点在平面外时,确定四个平面.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直答案:A解析:由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1BCD1,EFD1C=F,则A1B与EF相交.3.如图,=l,A,B,C,且Cl
2、,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:AB,MAB,M.又=l,Ml,M.根据基本事实3可知,M在与的交线上,同理可知,点C也在与的交线上.4.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由题意,根据直线和直线外的一点,有且只有一个平面,所以“这四个点中有三点在同一直线上”,则“这四个点在同一平面上”,反之不一定成立,所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
3、充分不必要条件,故选A.5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面答案:A解析:连接A1C1,AC(图略),则A1C1AC,A1C1过点O,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.6.l1,l2表示空间中的两条直线
4、,p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:A解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即pq;而l1,l2不相交/l1,l2是异面直线,即q/p.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.(多选)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是()A.Al,A,Bl,BlB.A,A,B,B=ABC.l,AlAD.A,Al,ll=A答案:ABD解析:对于选项A,由基本事实2知选项A正确;对于选项B,由
5、基本事实3知选项B正确;对于选项C,l分两种情况:l与相交或l.当l与相交时,若交点为A,则A,故选项C错误;选项D中推理显然正确.8.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.平行B.相交C.是异面直线D.垂直答案:D解析:两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.9.如图,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EHFG=P,那么点P在直线上;(2)如果EFGH=Q,那么点Q在直线上.答案:(1)BD(2)AC解析:(1)连接BD,若EHFG=P,则P平面ABD,且P平面BCD.平面ABD平面
6、BCD=BD,P直线BD.(2)连接AC.若EFGH=Q,则Q平面ABC,且Q平面ACD.平面ABC平面ACD=AC,Q直线AC.10.如图所示,OA,OB,OC为不共面的三条线段,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且OA1OA=OB1OB=OC1OC成立.求证:A1B1C1ABC.证明:在OAB中,因为OA1OA=OB1OB,所以A1B1AB.同理可证A1C1AC,B1C1BC.所以C1A1B1=CAB,A1B1C1=ABC.所以A1B1C1ABC.11.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线;(
7、2)EG与FH相交.证明:(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EFAC,HGAC,因此EFHG.同理EHFG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与FH相交.二、综合应用12.给出以下四个说法,不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的个数是()A.0
8、B.1C.2D.3答案:B解析:显然正确;中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不正确;空间四边形的四条边不共面.故只有正确.13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,则下列说法正确的是()A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行答案:C解析:如图,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行
9、,所以A错误;因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M,且点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N,且点N不在直线AC1上,所以直线MN与直线AC1是异面直线,所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M,且点M不在直线A1C上,所以直线MN与直线A1C是异面直线,所以D错误.14.(2021江西南昌一模)如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD.现将ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是()A.直线E
10、F,HG有可能平行B.直线EF,HG一定异面C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上答案:C解析:连接EH,FG(图略).BE=2AE,DH=2HA,AEBE=AHDH=12,EHBD,且EH=13BD.又CF=2FB,CG=2GD,CFFB=CGGD=2,FGBD,且FG=23BD.EHFG,且EHFG.点E,F,G,H共面,且四边形EFGH是梯形.直线EF,HG一定相交,设交点为O,则OEF,又EF平面ABC,可得O平面ABC,同理,O平面ACD,而平面ABC平面ACD=AC,O直线AC,即直线EF,HG一定相交,且交点一定在直
11、线AC上,故C正确,A,B,D错误.15.(2021湖南长沙一中高三月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上一点,F为棱AA1的中点,且CE=2C1E,AB=2,AA1=3,BC=4,则平面BEF截该长方体所得截面为边形,截面与侧面ADD1A1、侧面CDD1C1交线的长度之和为.答案:五10+956解析:如图,设平面BEF与棱C1D1,A1D1分别交于点G,H,则截面为五边形BEGHF.易知BFEG,BEFH,则ABF=EGC1,CBE=A1HF,所以可得C1EC1G=AFAB=322,A1FA1H=CECB=24,而C1E=1,A1F=32,解得C1G=43,A1H=3,从
12、而可得FH+GE=352+53=10+956.16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G,H分别是B1C1,C1D1的中点.(1)画出平面ACD1与平面BDC1的交线,并说明理由;(2)求证:B,D,H,G四点在同一平面内.(1)解:如图,设ACBD=M,C1DCD1=N,连接MN,点M,N在平面ACD1内,且也在平面BDC1内,平面ACD1平面BDC1=MN.(2)证明:连接B1D1,因为G,H分别是B1C1,C1D1的中点,所以HGD1B1.又D1B1DB,所以HGDB,故B,D,H,G四点共面.三、探究创新17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台.证明:(1)GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.(2)A1G12AB,AA1与BG必相交.设交点为P,则PA1PA=A1GAB=12.同理设CHAA1=Q,则QA1QA=12,点P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH平面ABC,几何体A1GH-ABC为三棱台.
