1、考点规范练31平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且ab,则3a+2b等于()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)2.若向量AB=DC=(2,0),AD=(1,1),则AC+BC等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)3.(多选)下列各组向量中,不能作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(1,2),e2=(-2,1)C.e1=(-3,4),e2=35,-45D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)4.在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线
2、AC与BD相交于点M,则AM等于()A.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,65.在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)6.已知平面直角坐标系中的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,2)(2,+)7.若平面内两个向量a=(2cos ,1)与b=(1,cos )共线,则cos 2等于()A.12B.1
3、C.-1D.08.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且AOC=4,|OC|=2.若OC=OA+OB,则+等于()A.22B.2C.2D.429.已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4).当P是线段P1P2的一个三等分点时,点P的坐标为()A.43,2或83,3B.43,3C.(2,3)或43,2D.83,310.如图,在ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知AM=c,AN=d,则AB=,AD=.(用c,d表示)二、综合应用11.(多选)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D
4、的坐标可以是()A.(2,3)B.(2,-1)C.(4,1)D.(-2,-1)12.在RtABC中,A=90,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=AB+AC(0,0),则当取得最大值时,|AD|的值为()A.72B.3C.52D.12513.若,是一个基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.现已知向量a在p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)14.已知线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(
5、1,1),使|AC|=2|BC|,则x+y=.15.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是.三、探究创新16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.217.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3aBC+4bCA+5cAB=0,则abc=.考点规范练31平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B因为ab,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14).2.BAC
6、=AD+DC=(3,1),又BD=AD-AB=(-1,1),则BC=BD+DC=(1,1),故AC+BC=(4,2).3.ACDA,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,故可作为一个基底.4.B因为在ABCD中,有AC=AB+AD,AM=12AC,所以AM=12(AB+AD)=12(-1,12)=-12,6,故选B.5.B如图,BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).6.D因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m0,解得m2,所以m的取值范围是(-,2
7、)(2,+),故选D.7.D因为向量a=(2cos,1)与b=(1,cos)共线,知2coscos-11=0,所以2cos2-1=0,所以cos2=0,故选D.8.A因为|OC|=2,AOC=4,C为坐标平面第一象限内一点,所以点C(2,2).又OC=OA+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=2,所以+=22.9.A设点P(x,y),则P1P=(x,y-1),PP2=(4-x,4-y),当点P靠近点P1时,P1P=12PP2,则x=12(4-x),y-1=12(4-y),解得x=43,y=2,所以点P43,2.当点P靠近点P2时,P1P=2PP2,则x=2(4-x),y
8、-1=2(4-y),解得x=83,y=3,所以点P83,3.故选A.10.23(2d-c)23(2c-d)设AB=a,AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以BN=12b,DM=12a.又c=b+12a,d=a+12b,所以a=23(2d-c),b=23(2c-d),即AB=23(2d-c),AD=23(2c-d).11.ACD设点D(x,y),若AB=CD,则(1,-1)=(x-3,y-2),即x-3=1,y-2=-1,解得x=4,y=1,即点D(4,1);若AB=DC,则(1,-1)=(3-x,2-y),即x-3=-1,y-2=1,解得x=2,y=3,即点D(2,3);若AD=CB
9、,则(-2,-2)=(x,y-1),即x=-2,y-1=-2,解得x=-2,y=-1,即点D(-2,-1).12.C因为AD=AB+AC,且D,B,C三点共线,所以+=1,所以+22=14,当且仅当=12时,取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52.故选C.13.Da在基底p,q下的坐标为(-2,2),a=-2p+2q=(2,4).设a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.14.-2或6由已知得AC=(1-x,-4),2BC=2(3,1-y)=(6,2-2y).由|AC|=2|BC|,可得AC
10、=2BC,则当AC=2BC时,有1-x=6,-4=2-2y,解得x=-5,y=3,此时x+y=-2;当AC=-2BC时,有1-x=-6,-4=-2+2y,解得x=7,y=-1,此时x+y=6.综上可知,x+y=-2或6.15.m54由题意得AB=(-3,1),AC=(2-m,1-m).若点A,B,C能构成三角形,则AB,AC不共线,即-3(1-m)1(2-m),解得m54.16.A建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设点P(x,y),C的半径为r,由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45
11、.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.17.2015123aBC+4bCA+5cAB=0,3a(BA+AC)+4bCA+5cAB=0,(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.在ABC中,BA,AC不共线,3a=5c,3a=4b,解得c=35a,b=34a.即abc=a34a35a=201512.
