1、2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题数学 2006年2月16日本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第一部分1至2页，第二部分3至4页，满分分，考试时间分钟第一部分（选择题，共50分）注意事项：1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式，如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径，球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，
2、那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设全集UR，集合A，则集合是（A） （B）（C）（D）（2）在正项等比数列中，则的值为（A）2（B）4 （C）8 （D）16（3）曲线在处的切线的斜率是（A）1 （B）1 （C） （D）（4）将函数的图象按向量a平移后得到函数的图象，则向量a为（A）（，0） （B）（，0）（C）（，0） （D）（，0） （5）若、满足约束条件 ，则的最大值为（A） 4（B）2（C）1（D）（6）的值为（A）0 （B）1（C）（D） （7）以椭圆的右焦点为
3、圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（A）（B）（C）（D）（8）定义运算，则符合条件（为虚数单位）的复数为（A） （B） （C） （D）（9）函数的反函数为，若，则x的取值范围是（A）（B）（C）（D） （10）在长方体中，点分别在棱、上滑动，且线段的长恒等于2，则线段的中点的轨迹是（A）圆的一部分 （B）椭圆的一部分 （C）双曲线的一部分 （D）抛物线的一部分C1B1D1EA1CBFPDA 第2页2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题数学第二部分（非选择题，共100分）注意事项：1. 第二部分共2页，用黑色钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚题号二三总
4、分（15）（16）（17）（28）（19）（20）分数二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中（12）题第一个空格2分，第二个空格3分，把答案填在答题卷相应题目上（11）已知向量a，向量b，若ab，则实数x的值为 （12）展开式中常数项是第 项，该项等于 (用数字作答)（13）已知椭圆：，直线，若直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为 （14）把一个半径为1的半球削成一个正方体，则正方体的最大体积为 三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本小题满分12分）已知函数的图象过点（I）求a的值；（II）求函数的单调递增区间
5、AMBDA1CC1B1（16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，为的中点，D在A1B1上且（I）求证：平面平面；（II）求二面角的大小 第3页（17）（本小题满分14分）已知为实数，函数() 若，求函数在，1上的最大值和最小值；()若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（18）（本小题满分12分）在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就称为“通过”，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮已知甲每次投篮投中的概率是（I）求甲恰好投篮3次就通过的概率；（II）设甲投篮投中的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E（19）（本小题满分14分）1 2 3456 7 8 9 10 把
6、自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、jN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8（I）若2006，求i、j的值；（II）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为，令若数列 的前项和为，求的值xyABCOF1F2（20）（本小题满分14分）如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过焦点当垂直于轴 时，恰好（I）求该椭圆的离心率；（II）设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由第4页 2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号(1)(2)(3
7、)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案DABDBCACBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 (11) 1 (12) 5；15 (13) 2 (14) 三、解答题： (15)（本小题12分）解：（I）函数过点， 2分即， 得 4分（II）分由得函数的单调递增区间是 12分（16）（本小题14分）解：（I）证明：在ABC中，ACBC，M为AB的中点，CMAB， 分又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，平面ABB1A1平面ABCCM平面ABB1A1， 4分而CM平面CMD，平面CMD平面ABB1A1 6分AMBDA1CC1B1E（II）解法一过M作MEBD于E，连结CE，
8、CM平面ABB1A1ME是CE在平面ABB1A1上的射影，CEBD，所以CEM是二面角的平面角 8分由1，则AB，取MB的中点F，则BF，由得： 11分在RtCME中，tanCEM所以CEM 13分即二面角的大小是 14分AMBDA1CC1B1xy解法二（向量法）：以C为原点，分别以CA 、CB、CC1所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，令1，则C（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（0，1，0），B1（0，1，1），M（，0），D（，1），C1（0，0，1）， 8分，设平面CBD的法向量为，则取，则， 10分而平面MBD的法向量是（，0）， 11分cos，
9、即 13分如图可知，二面角为锐角，二面角的大小为 14分（17）（本小题满分14分）解：()，即 2分由，得或；由，得 4分因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为在取得极大值为；在取得极小值为由，且在，1上的的最大值为，最小值为 8分() ，函数的图象上有与轴平行的切线，有实数解 10分，即 因此，所求实数的取值范围是 14分（18）（本小题满分12分）解：（I）甲恰好投篮3次就通过，即前2次中恰有一次投中且第三次也投中，其概率为P 分（II）依题意，可以取0，1，2，3 当0时，表示连续5次都没投中，其概率为：； 当1时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：；当2时，表示5次中仅有2次投中，
10、其概率为： ；当3时，表示连续3次都投中，其概率为：，或前3次中有2次投中，且第四次投中，其概率为：，或前4次中有2次投中，且第五次投中，其概率为：， 即随机变量的概率分布列为：0123P 8分数学期望E0123 10分 答：（I）甲恰好投篮3次就通过的概率是；（II）甲投篮投中的次数的数学期望是 12分（19）（本小题满分14分）解：（I）三角形数表中前n行共有123n个数，即第i行的最后一个数是， 2分 要使2006的i是不等式的最小正整数解因为，所以i63 4分于是第63行的第一个数是j 6分（II）三角形数表中前n行共有123n个数，前n行的所有自然数的和为1 8分 10分当n2时，其前n项和11 12分 14分xyABCOF1F2（20）（本小题满分14分）解：（I）当C垂直于x轴时，由，得， 2分在Rt中，【或由A（c，），得】解得 = 4分（II）由=，则， 6分焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有设，若直线的斜率存在，则直线方程为代入椭圆方程有由韦达定理得：， 8分所以，同理可得故= 10分若直线轴， 6 12分综上所述：是定值6 14分
