1、等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及其根与系数的关系基础过关练题组一等式的性质1.下列变形正确的是()A.如果2x=3,那么2xa=3aB.如果x=y,那么x-5=5-yC.如果12x=6,那么x=3D.如果x=y,那么-2x=-2y2.已知关于x的方程3a-x=x2+3的解为x=2,求(-a)2-2a+1的值.3.有只狡猾的狐狸,它平时总喜欢戏弄其他动物,有一天它遇见了老虎,狐狸说:“我发现2014和3是一样的.我这里有一个方程:2014x-2=3x-2,等式两边同时加上2,得2014x-2+2=3x-2+2,化简就是2014x=3x,等式两边同时除以x,得2014=3.”老虎睁大了
2、眼睛,听傻了.你认为狐狸的说法正确吗?如果正确,请说明上述、步的理由;如果不正确,请指出错在哪里,并加以改正.题组二因式分解4.将4x2+1分别加上下列各项,其中不能化成(a+b)2形式的是()A.4xB.-4xC.4x4D.16x5.如果要在二次三项式x2+()x-6的括号中填上一个整数,使它能按恒等式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么这个整数可以是()A.1,-1,-2,3B.5,-5,3,-2C.1,-1,5,-5D.以上都不对6.已知n是正整数,则下列各数中一定能整除(2n+3)2-25的是()A.6B.3C.4D.57.通过计算几何图形的面积,可表示一些代数
3、恒等式,如图所示,我们可以得到恒等式:a2+3ab+2b2=.8.阅读材料:对于多项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式.但对于多项式x2+2ax-3a2就不能直接用公式法了,我们可以根据多项式的特点,在x2+2ax-3a2中先加上一项a2,再减去a2这一项,使整个式子的值不变.解题过程如下:x2+2ax-3a2=x2+2ax-3a2+a2-a2(第一步)=x2+2ax+a2-a2-3a2(第二步)=(x+a)2-(2a)2(第三步)=(x+3a)(x-a).(第四步)根据上述材料,回答问题.(1)上述因式分解的过程,从第二步到第三步,其中用到的因式分解方法是()A.提
4、公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法D.十字相乘法(2)从第三步到第四步用到的因式分解方法是;(3)参照上述方法将多项式m2-6mn+8n2因式分解为.题组三一元二次方程的解集9.一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是()A.3B.6C.-3,6D.-6,310.如果一元二次方程2x2+px+q=0的解集为-1,2,那么二次三项式2x2+px+q可分解为()A.(x+1)(x-2)B.(2x+1)(x-2)C.2(x-1)(x+2)D.2(x+1)(x-2)11.给出一种运算:对于函数y=xn,规定y=nxn-1.例如:若函数y=x4,则有y=4x3.已知函数y=x3,则
5、方程 y=12的解集是()A.4,-4B.2,-2C.0D.23,-2312.已知集合A=-1,2,2m-1,集合B=2,m2,若BA,则实数m=.13.解一元二次方程x(x-2)=x-2时,小明得出方程的根是x=1,则被小明漏掉的一个根是x=.14.关于x的方程x2+2ax+a2-b2=0(b0)的解集是.15.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+1)*3=0的解集为.16.方程x2-8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长,则直角三角形的第三条边长是.17.求下列关于x的一元二次方程的解集:(1)x2-2mx+m2-1=0;(2)
6、x2-(a+1)x+a=0.18.设集合P=x|x2-5x-14=0,Q=x|mx+1=0.(1)若m=12,试判断集合P与Q之间的关系;(2)若QP,求实数m的所有可能取值构成的集合T.题组四一元二次方程根与系数的关系19.已知,是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则3+8+6的值为()A.-1B.2C.22D.3020.若实数a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则b-1a-1+a-1b-1的值是()A.-20B.2C.2或-20D.1221.若m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则m2-2mn+n2=.22.设关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个实数根分别为
7、,若|+|=6,则实数m的值是.23.已知三个集合A=x|x2-3x+2=0,B=xR|x2-ax+a-1=0,C=xR|x2-bx+2=0,同时满足BA,CA的实数a,b是否存在?若存在,求出实数a,b的值或取值范围;若不存在,说明理由.能力提升练一、单项选择题1.()现定义运算“”:对于任意实数a,b,都有ab=a2-2a+b,如34=32-23+4,若x3=6,则实数x的值为()A.3或-1B.-3或1C.23D.32.()若多项式x2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k的值为()A.5B.-5C.11D.-113.()在实数范围内定义一种运算“”
8、,其规则为ab=a2-b2-5a,则方程(x+2)6=0的所有解的和为()A.-1B.0C.1D.24.()设x2-px+q=0的两个实数根分别为,而以2,2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,则满足条件的数对(p,q)的个数是()A.2B.3C.4D.0二、多项选择题5.()下列式子中变形正确的是()A.若3x-1=2x+1,则x=0B.若ac=bc,则a=bC.若cab=daf,则cb=dfD.若y5=x5,则y=x6.()关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个乘积为正的整数根,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个乘
9、积为正的整数根,给出的如下结论中正确的是()A.这两个方程的根都是负根B.这两个方程的根中可能存在正根C.(m-1)2+(n-1)22D.-12m-2n1三、填空题7.()某同学在做作业时发现:方程2-()x=-32+2x不能求解了,因为()处的数字在印刷时被污迹盖住了,经过翻看后面的答案,知道该方程的解为x=12,该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.则将该方程复原出来应为.8.()将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线记成abcd,定义abcd=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若x-1x-11-xx+1=12,则x=.9.(2020 辽宁大连期末,)若16x2+1+k(k
10、为含x的单项式)是一个完全平方式,则满足条件的k可以为.10.()小明设计了一个魔术盒:任意实数对(a,b)进入其中,都会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-3x)放入其中,得到一个新数5,则x=.11.()分解因式x2+ax+b时,甲看错a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错b的值,分解的结果是(x-2)(x+1),则a+b=.12.(2020山东威海高一上期末,)汉代数学家赵爽在注释周髀算经时,用几何的方法讨论一元二次方程x2+px-q=0的解.将四个长为x+p,宽为x的矩形围成如图所示的正方形,于是中间小正方形的面积为,大正方形的面积为,从而由面积关系得到一元二次
11、方程的根.(用p,q表示)四、解答题13.()阅读材料:常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法就无法分解,如x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式,过程为:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题:(1)分解因式x2-2xy+y2-25;(2)ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+
12、bc=0,判断ABC的形状.14.()已知关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0.(1)若方程有实数根,求实数k的取值范围;(2)如果k是满足(1)的最大整数,且方程x2-4x+2k=0的根是一元二次方程x2-2mx+3m-1=0的一个根,求实数m的值及这个方程的另一个根.15.(2020 广东华南师大附中月考,)设m是不小于-1的实数,关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)若x12+x22=6,求实数m的值;(2)令T=mx11-x1+mx21-x2(m0),求实数T的取值范围.16.()已知集合A=xR|(a-1)x2-2x+1=0,a
13、为实数.(1)若集合A是空集,求实数a的取值范围;(2)若集合A是单元素集,求实数a的值;(3)若集合A中元素个数为偶数,求实数a的取值范围.17.()已知集合A=1,3,x,B=2-x,1.(1)若集合M=1,4,y,A=M,求x+y的值;(2)是否存在实数x,使得BA?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.答案全解全析第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系基础过关练1.D4.D5.C6.C9.C10.D11.B19.D20.C1.D对于A,没有a0的先决条件,等式的两边不能都除以a,故选项A不正确;对于B,等式的左边是
14、减去5,等式的右边是减去5后乘-1,等式不成立,故选项B不正确;对于C,等式的左边乘2,等式的右边除以2,等式不成立,故选项C不正确;对于D,等式的两边都乘-2,等式仍成立,故选项D正确.故选D.2.解析因为x=2是方程3a-x=x2+3的解,所以3a-2=1+3,解得a=2,所以(-a)2-2a+1=a2-2a+1=22-22+1=1.3.解析狐狸的说法不正确.错在第步“等式两边同时除以x,得2014=3”.改正:2014x=3x,等式两边同时减去3x,得2014x-3x=0,即2011x=0,解得x=0.4.D对于A,4x2+1+4x=(2x+1)2,故此选项不符合题意;对于B,4x2+1
15、-4x=(2x-1)2,故此选项不符合题意;对于C,4x4+4x2+1=(2x2+1)2,故此选项不符合题意;对于D,4x2+1+16x,不能运用完全平方公式分解因式,故此选项符合题意.故选D.5.C-6可以分解成-23,2(-3),-16,1(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.故选C.6.C(2n+3)2-25=(2n+3)+5(2n+3)-5=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1),(2n+3)2-25一定能被4整除.故选C.7.答案(a+2b)(a+b)解析由面积的不同计算方法可得a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).8.答案(1)
16、C(2)平方差公式法(3)(m-2n)(m-4n)解析(1)由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.故选C.(2)由题易知从第三步到第四步用到的因式分解方法是平方差公式法.(3)m2-6mn+8n2=m2-6mn+8n2+n2-n2=m2-6mn+9n2-n2=(m-3n)2-n2=(m-2n)(m-4n).9.C(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x1=-3,x2=6.故选C.10.D一元二次方程2x2+px+q=0的解集为-1,2,2(x+1)(x-2)=0,2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-
17、2).故选D.11.B由题意可得3x2=12,即x2=4,解得x1=2,x2=-2.故选B.12.答案1解析由题意得m2=2m-1,解得m=1.经检验m=1符合题意.13.答案2解析方程整理为x(x-2)-(x-2)=0,因式分解得(x-2)(x-1)=0,所以x-2=0或x-1=0,解得x1=2,x2=1,所以被小明漏掉的一个根是x=2.14.答案-a-b,-a+b解析原方程变形为(x+a)2-b2=0,因式分解得(x+a+b)(x+a-b)=0,x+a+b=0或x+a-b=0,x1=-a-b,x2=-a+b.b0,-a+b-a-b,方程的解集为-a-b,-a+b.15.答案2,-4解析(x
18、+1)*3=0,(x+1)2-32=0,(x+1+3)(x+1-3)=0,解得x1=2,x2=-4.方程的解集为2,-4.16.答案4或34解析由x2-8x+15=0得(x-3)(x-5)=0,所以x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5,即直角三角形的两条边长分别为3,5.当5为直角边长时,第三条边长为32+52=34;当5为斜边长时,第三条边长为52-32=4.17.解析(1)原方程可化为x-(m+1)x-(m-1)=0,解得x=m+1或x=m-1,所以原方程的解集为m+1,m-1.(2)原方程可化为(x-a)(x-1)=0,解得x=a或x=1.当a=1时,原方程的解集为1;当a1时
19、,原方程的解集为a,1.18.解析(1)由x2-5x-14=0,解得x=-2或x=7,即P=-2,7.若m=12,由12x+1=0,得x=-2,此时Q=-2.所以QP.(2)若Q=,则方程mx+1=0无解,此时m=0;若Q,则m0,由mx+1=0,可得x=-1m,所以-1m=-2或-1m=7,即m=12或m=-17.综上所述,T=0,12,-17.19.D是方程x2-2x-4=0的实根,2-2-4=0,即2=2+4,3=22+4=2(2+4)+4=8+8,原式=8+8+8+6=8(+)+14.,是方程x2-2x-4=0的两个实数根,+=2,原式=82+14=30.故选D.20.C当a=b时,b
20、-1a-1+a-1b-1=2;当ab时,因为实数a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,所以a,b可看成是方程x2-8x+5=0的两个实数根,所以a+b=8,ab=5.b-1a-1+a-1b-1=(b-1)2+(a-1)2(a-1)(b-1)=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2ab-(a+b)+1,把a+b=8,ab=5代入得b-1a-1+a-1b-1=82-10-16+25-8+1=-20.综上,b-1a-1+a-1b-1的值为2或-20.故选C.21.答案32解析m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,m+n=-2,mn=-7.m2-2mn+n2=(m+n)2-4mn
21、=(-2)2-4(-7)=32.22.答案9解析由根与系数的关系可得+=2,=1-m,|+|=6,(|+|)2=36,即|2+|2+2|=36,2+2+2|=36,(+)2-2+2|=36,4-2(1-m)+2|1-m|=36,当1-m0时,无解;当1-m0时,解得m=9.故实数m的值为9.23.解析x2-ax+a-1=0,=(-a)2-4(a-1)=(a-2)20,B.又A=x|x2-3x+2=0=1,2,BA,B=1或B=2.若B=1,则1+1=a,11=a-1,解得a=2;若B=2,则2+2=a,22=a-1,无解.CA,C=或1或2或1,2.当C=时,=(-b)2-80,解得-22b2
22、2;当C=1时,1+1=b,11=2不成立;当C=2时,2+2=b,22=2不成立;当C=1,2时,1+2=b,12=2,解得b=3,满足条件.综上,存在满足题意的实数a,b,实数a,b满足a=2,b=3或-22b0,y1y2=2m0,又x1+x2=-2m,y1+y2=-2n,这两个方程的根都是负根,故A正确,B不正确.4m2-8n0,4n2-8m0,m2-2n0,n2-2m0,(m-1)2+(n-1)2=m2-2n+1+n2-2m+12,故C正确.y1y2=2m,y1+y2=-2n,2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1,y1、y2均为负整数,(y1+1)(y2+1)
23、0,2m-2n-1.x1x2=2n,x1+x2=-2m,2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1,x1、x2均为负整数,(x1+1)(x2+1)0,2n-2m-1,即2m-2n1,-12m-2n1,故D正确.故选ACD.三、填空题7.答案2-5x=-32+2x解析设被污迹盖住的数字为a,则原方程为2-ax=-32+2x,把x=12代入方程,得2-12a=-32+1,解得a=5,所以将该方程复原出来为2-5x=-32+2x.8.答案3或-2解析由题意得(x-1)(x+1)-(x-1)(1-x)=12,整理得x2-x-6=0,因式分解得(x-3)(x+2)=0,所以x-3=0
24、或x+2=0,解得x=3或x=-2.9.答案8x或64x4解析整式16x2+1+k是完全平方式,则满足条件的单项式k是8x或64x4.10.答案-311解析根据题意,得x2+6x+3=5,移项可得x2+6x=2,配方可得(x+3)2=11,两边开方可得x+3=11,故x=-311.11.答案-7解析甲分解因式得x2+ax+b=(x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看错a的值,b=-6.乙分解因式得x2+ax+b=(x-2)(x+1)=x2-x-2,乙看错b的值,a=-1.a+b=-7.12.答案p2;p2+4q解析由题图可知,小正方形的边长为x+p-x=p,则小正方形的面积为p2.又四个小长
25、方形的面积均为4x(x+p),所以大正方形的面积为p2+4x(x+p).又因为x2+px-q=0,即x(x+p)=q,所以大正方形的面积为p2+4q.四、解答题13.解析(1)x2-2xy+y2-25=(x-y)2-25=(x-y+5)(x-y-5).(2)a2-ab-ac+bc=0,a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)=0,a=b或a=c,ABC的形状为等腰三角形.14.解析(1)由题意得0,16-8k0,解得k2.实数k的取值范围是k|k2.(2)由题意得k=2,方程x2-4x+2k=0的根为x1=x2=2,方程x2-2mx+3m-1=0的一个根为2,4-4m+3m-1=0,解
26、得m=3,方程x2-2mx+3m-1=0.即x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,方程x2-2mx+3m-1=0的另一个根为4.15.解析方程有两个不相等的实数根,=2(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+40,解得m1,又m是不小于-1的实数,-1m1.由题得x1+x2=-2(m-2)=4-2m,x1x2=m2-3m+3.(1)x12+x22=6,(x1+x2)2-2x1x2=6,即(4-2m)2-2(m2-3m+3)=6,整理得m2-5m+2=0,解得m=5+172或m=5-172.-1m1,m=5-172.(2)T=mx11-x1+mx21-x2=mx1(1-x2)+mx2(1-
27、x1)(1-x1)(1-x2)=m(x1+x2)-2x1x21-(x1+x2)+x1x2=m(4-2m-2m2+6m-6)1-4+2m+m2-3m+3=-2m(m-1)2m2-m=2-2m.-1m1且m0,02-2m4且2-2m2,即0T4且T2.故实数T的取值范围为T|0T4且T2.16.解析(1)若集合A是空集,则a-10,=(-2)2-4(a-1)2.故实数 a的取值范围为a|a2.(2)若集合A是单元素集,则当a-1=0,即a=1时,A=xR|-2x+1=0=12,满足题意;当a-10,即a1时,=(-2)2-4(a-1)=0,解得a=2,此时A=xR|x2-2x+1=0=1.综上所述,a=1或a=2.(3)若集合A中元素个数为偶数,则A中有0个或2个元素.当A中有0个元素时,由(1)知a2;当A中有2个元素时,a-10,=(-2)2-4(a-1)0,解得a2,且a1.综上所述,实数a的取值范围为a|a2且a1.17.解析(1)由题意可知x=4,y=3,所以x=16,y=3,所以x+y=19.(2)假设存在实数x使得BA,则2-x=3或2-x=x.若2-x=3,则x=-1,此时x没有意义,舍去.若2-x=x,则(2-x)2=(x)2,化简得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4(舍去),当x=1时,不符合集合中元素的互异性,舍去.故不存在实数x,使得BA.
