1、高考资源网（） 您身边的高考专家指数函数的综合应用一一、 内容与解析（一） 内容：指数函数的综合应用一。（二）解析：对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算、推理考查函数的图象、性质；也考查灵活运用函数性质进行函数值大小比较，指数方程、不等式求解问题.有时还需要利用指数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质.涉及到的问题为中低档问题，多以填空选择为主.二、 目标及其解析：（一） 教学目标（1）理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n次方根与n次根式的概念；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简。（2）掌握指数函数的概念、图象和性质；能利用计算器或计算机分
2、析解决问题。（3）引导学生观察、分析、抽象根据，发展学生的思维能力。（二） 解析（1）指数函数的图象和性质(1)指数函数的图象()()图2-1-1指数函数的图象根据底数的大小大致可分为两类：图2-1-2(2)图象特征：图象都位于轴上方,都经过点.当时，,；当时，.同一坐标系内，图象的相对位置与底数的关系：在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.在同一坐标系内与的图象关于轴对称.（2）指数函数的单调性指数函数(且)，当时，在其定义域上是增函数，当时，在其定义域上是减函数.三、 问题诊断分析在本节课的教学中
3、，学生可能遇到的问题是不易充分运用指数函数的图像与性质解题。四、 教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、 教学过程题型一 比较大小例1 比较下列各组中两个值的大小(1)和；(2)和；(3)和.是增函数【思维导图】(1)是减函数(2)是增函数是减函数(3)【解题关键】同底数幂的大小，是由相应的指数函数的单调性和指数函数的大小确定，因此，首先找出相应的指数函数，确定其单调性.【规范解答】(1
4、)考查指数函数，由于底数，所以指数函数在上是增函数，由，得.(2) 考查指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数，由，得.(3) 因为，所以，.【技巧感悟】对于同底数幂，要利用相应指数函数的单调性，通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小；当两个式子不能化为同底数时，我们可以找到一个中间值，使这两个数分别与中间值进行比较，常用的中间值有，等.【活学活用】1. (1) 比较下列各组数的大小：； ； . (2) 如果，求的取值范围.1. 解析：因为 指数函数在上为增函数，且，所以 . 因为，且，所以，即. 由指数函数的性质知，所以.(2) 解析：当时，因为，所以，解得.当时，因为，所以，解
5、得.综上所述，的取值范围.是：当时，；当时，.题型二 与指数函数有关的定义域与值域(最值)问题例2 求下列函数的定义域与值域.(1)；(2) .指数保证有意义值域定义域【思维导图】定义域为图象值域【解题关键】定义域是使函数式有意义的自变量的取值的集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.【规范解答】(1)令，得，所以的定义域为.令，因为， 所以.所以.所以的值域为.(2)函数的定义域为.因为，令，因为指数函数在上是减函数，所以，.所以的值域为.【技巧感悟】本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关，根据指数函数的定义域是，值域是，利用整体代换思想，结合第一章求函数定义域和值域
6、的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域.【误区警示】在求值域问题时，既要注意正确运用指数函数的单调性，还要注意指数函数的值域为.【活学活用】2.求下列函数的定义域和值域.(1) ； (2).2.解析：(1)由，得，当时，；当时，.故当时，定义域为；当时，定义域为.由可知，值域为. (2)易知，函数的定义域为.，因为，所以， 则，即函数的值域为.题型三 指数函数的图象及应用例3 根据函数的图象，作出函数的图象，并求其值域和单调区间.【思维导图】联想去掉指数的绝对值画出图象得出性质【解题关键】去掉绝对值号后，画图象时，可通过对称变换得到.图2-1-3【规范解答】因为所以可由的图象保留轴右边部分
7、，再作其对称图象即可得到左边部分，合起来就可得到.所作图象如图2-1-3：由图象可知，值域是，单调递增区间是单调递减区间是.【技巧感悟】利用熟悉的函数图象作图，主要利用图象的平移，对称等变换，平移需分清向何方向平移，要平移多少个单位；对称要分清对称轴是什么，点与点的坐标有什么关系等.【活学活用】3.若函数与的图象关于轴对称，则满足的的范围是（ ）A. B. C. D. 3. C 解析：由与的图象关于轴对称得，得， .题型四 指数函数综合例4（2009-2010黑龙江庆安三中高一期中）已知函数.（1）求证：不论为何实数总是为增函数；（2）确定的值, 使为奇函数；（3）当为奇函数时, 求的值域.【
8、思维导图】（1）单调性定义：作差任取得出结论代入化简判断符号（2）奇偶性定义奇函数或明确解析式求值化简（3）【解题关键】证明函数的单调性和奇偶性，应严格按照函数的单调性和奇偶性的定义.【规范解答】(1) 的定义域为, 设,，则=, ,即，所以不论为何实数总为增函数. (2) 因为为奇函数, 所以,即, 解得: . 所以 (3)由(2)知, 因为,所以, 所以，所以. 所以的值域为. 【技巧感悟】(1)在证明单调性的过程中，判断差的符号正负时，利用了指数函数的单调性；(2)因为函数的定义域为，故在处有意义，因此，求解时，可以令得到的值.【知识归纳】对于为奇函数，其“孪生”函数也为奇函数.值得说明
9、的是，其中的指数函数可以为任意一个指数函数，但是是不变的.【活学活用】4. (2009-2010山东临沂五校联考)设，是上的偶函数.（1）求的值； （2）证明在上是增函数4. 解析：（1）因为是上的偶函数，所以所以，不可能恒为“”， 所以当时等式恒成立，所以（2）在上任取，.因为，所以，所以，所以，即，所以是在上是增函数.(二）小结：函数的问题，关键是抓住函数的图像与性质六、 目标检测学业基础测试图2-1-4一、选择题1(2009-2010浙江温州中学高一期中）函数的图像如图2-1-4所示，其中为常数，则下列结论正确的是( )A. , B. , C. , D. , 1D 解析：由函数图象特征知
10、，又，则，所以.2（2009-2010江西安福中学高一期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、2.C 解析：由题知，要使图象不经过第一象限，只需，即，得.3.若函数与的图象关于轴对称，则满足的的范围是（ ）A. B. C. D. 3.C 解析：，定义域为.又.故为奇函数，故图象关于原点对称.4.函数与函数且的图象有可能是 （ ）AOODOCOB图2-1-54D 解析；假定的图象，判断范围，然后确定的图象二、填空题5（2009-2010湖南醴陵二中、醴陵四中高一期中联考）函数恒过定点 .5 解析：令，得，此时.6（2009-2010广东东莞实验中学2010届高三
11、月考）将函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移个单位得函数 的图像，则函数解析式为 .6 解析：函数的图象向左平移1个单位得到，函数的图象，再向上平移2个单位得到函数 的图象，故.高考能力演练图2-1-67（2009-2010山西运城高一模块考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1） 画出函数的图象；（2） 根据图像写出的单调区间，并写出函数的值域.7.解析：(1)先作出当时，的图象，利用偶函数的图象关于轴对称，再作出当时的图象.(2)由图知，数的单调递增区间是，单调递减区间是.值域是.答图2-1-1图2-1-78.( 2009-2010陕西西安一中高一期中) 指数函数的图象如图2-1-7所示，在已知图象的基础上画出指数函数的图象(说明理由)；求的顶点的横坐标的取值范围. 8.解析：（1）与互为倒数，与的图像关于轴对称. （2），.的顶点的横坐标的取值范围 .精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u 版权所有高考资源网
