1、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.C.8D.4【解析】选A.设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4()2=12.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为()A.1B.C.D.【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R,V柱V锥=R2hr2h=34.3.圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是6,这个圆台的体积
2、是 ()A.B.2C.D.【解析】选D.S1=,S2=4,所以r=1,R=2,S侧=6=(r+R)l,所以l=2,所以h=.所以V=(1+4+2)=.4.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为()A.B.C.2D.【解析】选A.设大球的半径为r,则132=r3,所以r=.5.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.12B.1C.1D.2【解析】选C.设圆锥的高为a,则底面半径为,则S底=,S侧=a2,所以=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_.【解析】方法一:易知半径
3、最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于AM=2,故SABC=22=2,设内切圆半径为r,则SABC=SAOB+SBOC+SAOC=ABr+BCr+ACr=r=2,解得r=,其体积:V=r3=.7.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸,上底长为28寸,高为18寸的等
4、腰梯形,雨水线恰为中位线,故雨水线直径是20寸,所以降水量为=3(寸).答案:38.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为_.【解析】设两球的半径分别为R,r(Rr),解得由题意得半径之差为1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.【解析】该组合体的表面积S=4r2+2rl=412+213=10.该组合体的体积V=r3+r2l=13+123=.10.(原创题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.(1
5、)试用x表示圆柱的高;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?【解析】(1)所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,设圆柱的高为h,由图得=,即h=3-3x(0x侧棱. 所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.答案:8.如图所示的OAB绕x轴旋转一周,产生的几何体的表面积为_,体积为_.【解析】绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上、下底面半径分别为2,3,高为3的圆台,挖去了一个底面半径为3,高为3的圆锥,如图所示.其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和.圆台的母线长是,圆锥的母线长是3,故表面积S1=22+(2+3)+33
6、=(4+5+9);体积为V1=(22+32+23)3-323=(4+9+6-9)=10.答案:(4+5+9)10三、解答题(每小题10分,共30分)9.圆台的上、下底面半径和高的比为144,若母线长为10,求圆台的表面积.【解析】圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,则它的母线长为l=5r=10,所以r=2,R=8.故S侧=(R+r)l=(8+2)10=100,S表=S侧+r2+R2=100+4+64=168.10.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.【解析】因为ABBCAC=182430=3
7、45,所以ABC是直角三角形,B=90.又球心O在截面ABC上的投影O为截面圆的圆心,即是RtABC的外接圆的圆心,所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示),设OC=r,OC=R,则球半径为R,截面圆半径为r,在RtOCO中,由题设知sinOCO=,所以OCO=30,所以=cos 30=,即R=r,(*)又2r=AC=30r=15,代入(*)得R=10.所以球的表面积为S=4R2=4(10)2=1 200.球的体积为V=R3=(10)3=4 000. 11.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.【解题指南】本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之比,可在各几何体内作出截面,找到球心,易求半径.【解析】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面,如图,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4=a2.(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图,2r2=a,r2=a,所以S2=4=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图,所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4=3a2.综上可得S1S2S3=123.
