1、直线与平面垂直(一)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定【解析】选C.因为BA，l，l，所以BAl，同理BCl，又BABCB，所以l平面ABC.因为AC平面ABC，所以lAC.2如图，P为ABC所在平面外一点，PB，PCAC，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】选B.由PB，AC得PBAC，又ACPC，PCPBP，所以AC平面PBC，ACBC.3空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A垂直且相
2、交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，所以BD平面AOC，所以BDAC，又BD，AC异面所以AC，BD不相交【加固训练】 如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直【解析】选C.连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交4(2021赤峰高一检测)正方体ABCDA1B1
3、C1D1中，E为棱AB上的点，且AB4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为()A B C D【解析】选A.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面AA1D1D平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，因为EB平面BB1C1C，连接BC1，则EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4a，则EBa，BC14a.所以tan EC1B.即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为.二、填空题(每小题5分，共10分)5(2021宜兴高一检测)将一本书打开后竖立在桌面上(如图)
4、，则书脊所在直线AB与桌面的位置关系为_【解析】设桌面所在平面为平面，由ABBC，ABBE，且BC平面，BE平面，且BCBEB，可得AB平面.答案：垂直6如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为_【解析】取A1B1中点D，连接C1D，AD，因为正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，所以C1DA1B1，C1DAA1，因为A1B1AA1A1，所以C1D平面ABB1A1，所以AC1与面ABB1A1所成的角为DAC1，因为C1D，AD3，所以tan DAC1，所以DAC1.所以AC1与面ABB1A1所成的角为.答案：三、解答题(每小
5、题10分，共20分)7如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，AC与BD交于点O.求证：BD平面PAC.【证明】因为ABCD为菱形，所以BDAC，又因为PA平面ABCD，所以BDPA，PAACA，所以BD平面PAC.8如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.求证：SD平面SAB.【证明】因为ABCD，BCCD，ABBC2，CD1，所以底面ABCD为直角梯形，AD.因为侧面SAB为等边三角形，所以SASBAB2.又SD1，所以AD2SA2SD2，所以SDSA.连接BD，则BD，所以BD2SD2SB2，所以SDSB.
6、又SASBS，所以SD平面SAB.【加固训练】 如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.【解析】(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD，又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC，由(1)知SDBD，又因为SDACD，所以BD平面SAC.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1如图，空间四边形ABCD中，各条棱都相等，则AB所在直
7、线与平面BCD所成角的余弦值为()A. B C D1【解析】选A.因为空间四边形ABCD中，ABBCCDDAACBD，所以四面体ABCD为正四面体，所以点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心O，连接AO，BO，则ABO为AB所在直线与平面BCD所成角，令ABBCCDDAACBDa，则BOaa，在RtABO中，cos ABO.2(多选题)如图所示，在四个正方体中，EF是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出EF平面MNP的图形为()【解析】选AD.对于AD.根据正方体的性质可得：EFMN，EFMP，可得EF平面MNP.而BC无法得出EF平面MNP.二、填空题(每小
8、题5分，共10分)3四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB4，则直线PB与平面PAC所成角为_【解析】连接BD交AC于点O，连接PO.因为PA平面ABCD，所以PABD又底面ABCD是正方形，所以BDAC，因为PAACA，所以BD平面PAC.则PO为PB在平面PAC上的射影所以BPO为直线PB与平面PAC所成的角因为PAAB4，所以OAOB2，PO2.所以tan BPO，得BPO30.所以直线PB与平面PAC所成的角为30.答案：304正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为_；EF与对角面BDD1B1所
9、成角的正弦值是_【解析】由正方体的性质知，B1C1平面ABB1A1，所以B1C1EF，连接AB1，A1B，因为四边形ABB1A1为正方形，所以AB1A1B，因为E，F分别是AA1，AB的中点，所以EFA1B，所以AB1EF，又B1C1AB1B1，B1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1，所以EFAC1，即EF与直线AC1所成角的大小为.取B1D1的中点O，连接OA1，OB，则A1OB1D1，因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1A1O，因为B1D1BB1B1，B1D1、BB1平面BDD1B1，所以A1O平面BDD1B1，因为EFA1B，所以EF与面BDD1B1所成的角也为A1
10、B与面BDD1B1所成的角，即A1BO，在RtA1BO中，sin A1BO，所以EF与面BDD1B1所成角的正弦值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，CACBCC12.点D，D1分别是棱AC，A1C1的中点(1)求证：D，B，B1，D1四点共面；(2)求直线BC1与平面DBB1D1所成角的大小【解析】(1)因为点D，D1分别是棱AC，A1C1的中点，所以DD1CC1，因为CC1BB1，所以DD1BB1，所以D、B、B1、D1四点共面(2)作C1FB1D1，垂足为F，因为BB1平面A1B1C1，C1F平面A1
11、B1C1，所以直线BB1直线C1F，因为C1F直线B1D1且BB1与B1D1相交于B1，所以直线C1F平面DBB1D1，所以C1BF即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角在直角C1BF中，BC12，C1F，sin C1BF.6.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB90，CEAB1，垂足为E，D为AB的中点求证：(1)CDAA1；(2)AB1平面CED.【证明】(1)由题意知，AA1平面ABC，CD平面ABC，所以CDAA1.(2)因为D是AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB90，所以CDAB.因为CDAA1，ABA1AA，AB平面A1B1BA，A1A平面A1B1BA，所以CD平面A1B1BA.因为AB1平面A1B1BA，所以CDAB1.由题意知CEAB1.因为CDCEC，CD平面CED，CE平面CED，所以AB1平面CED.
