1、平面向量的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2b sin Aa，则B()A B或C D或【解析】选D.因为在ABC中，2b sin Aa，所以2sin B sin Asin A，因为sin A0，所以sin B.因为B，则B或.2南宋著名数学家秦九韶在著作数书九章中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为S，若ABC满足c2sin A2sin
2、 C，cos B，且ab0，则ABC为锐角三角形D若ab sin Cc cos B，则C【解析】选ACD.A：有，即a2b2，故ABC为等腰三角形，正确B：有sin A cos Asin B cos B，即sin 2Asin 2B，0A，B0，所以ABC为锐角三角形，正确D：ab sin Cc cos B知：sin Asin (BC)sin B sin Csin C cos B，所以cos Csin C，所以tan C1，0C，有C，正确二、填空题(每小题5分，共10分)5(2021武汉高一检测)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2a sin B，则cos Bsi
3、n C的取值范围为_【解析】依题意b2a sin B，由正弦定理得sin B2sin A sin B，因为sin B0，所以sin A，由于三角形ABC是锐角三角形，所以A.由，可得B，所以cos Bsin Ccos Bsin cos Bcos Bsin Bcos Bsin Bsin ，由于B，所以sin ，所以sin .答案：6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，ac1，则ABC面积的最大值为_，ABC周长的取值范围为_【解析】由ac1得c1a，所以aca(1a)(a)2，所以当ac时，ac的最大值为，所以SABCac sin B，即ABC面积的最大值为；由余弦定理可得
4、b2a2c22ac cos B(ac)23ac13ac13，所以b，又bac1，所以b1，所以bac2，即ABC周长的取值范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7在c cos Bb cos C2，b cos c cos B，sin Bcos B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，_，b4?【解析】选择：由余弦定理可知，c cos Bb cos Ccba2，由正弦定理得，sin B1，又B，所以B，所以ABC是直角三角形，则c2，所以ABC的面
5、积Sac2.选择：由正弦定理得，sin B cos sin C cos B，即sin B sin Csin C cos B，又C，所以sin C0，所以sin Bcos B，即tan B1，又B，所以B.由正弦定理得a2，所以ABC的面积Sab sin C4sin (AB)4sin 22.选择：因为sin Bcos Bsin ，所以sin 1，又B(0，)，所以B，所以，B，即B.由正弦定理得，a2，所以ABC的面积Sab sin C4sin (AB)4sin 22.8(2021南京高一检测)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6(单位
6、：10m)，游客在乘坐舱P上升到半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位：10m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为.(1)当游客在乘坐舱P与伦敦眼M在同一水平面看建筑BC的视角为60时，拍摄效果最好若此时测得建筑物BC的高度为186(单位：10 m)，求视线PC的长度(2)当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角30，求建筑物BC的高度【解析】(1)根据题意，易知点P应在轴线AD的右侧与M等高的位置，连接MP，则MAMP6，过点P作PEAB于点E，则PEMA6，因为AB12，所以E为AB中点，则AEBE6，因此PEB为等腰直角三角形，则PBE45，PB6，又BCAB，所以PBC45，因为60，所以PCB180604575，在PBC中，由正弦定理可得，则PC66(单位：10m)，即视线PC的长度为(6060)m；(2)连接DB，因为ADAB12，所以DB12，DBA45，又BCAB，所以DBC45，因为30，所以DCB1803045105，在DBC中，由正弦定理可得，则BC12(单位：10m)，即建筑物BC的高度为120m.
