1、课时素养检测二十一三角恒等变换的应用(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.化简sin 2-2sin2+1的结果可以是()A.2sin(2+30)B.2sin(2-30)C.2sin(2+60)D.2sin(2-60)【解析】选A.sin 2-2sin2+1=sin 2+cos 2=2=2(sin 2cos 30+cos 2sin 30)=2sin(2+30).2.由1+2cos(2x-60)和化积为()A.2cos(x-60)cos xB.2sin(x-60)sin xC.4cos(x-60)cos xD.4c
2、os(x-60)sin x【解析】选C.由和差化积公式,得1+2cos(2x-60)=2=2cos 60+cos(2x-60)=4cos xcos(x-60).3.化简4sin(x+30)cos x=()A.sin(2x+30)+1B.sin(2x+30)-1C.2sin(2x+30)+1D.2cos(2x+30)+1【解析】选C.由积化和差公式,得4sin(x+30)cos x=2sin(2x+30)+sin 30=2sin(2x+30)+1.4.(2019宁德高一检测)计算cos 40+cos 60+cos 80+cos 160的值为 ()A.1B.0C.D.【解析】选D.cos 40+c
3、os 60+cos 80+cos 160=+cos 80+2cos 100cos 60=+cos 80cos 80=.5.函数y=cos+sin具有性质()A.最大值为,图像关于对称B.最大值为1,图像关于对称C.最大值为,图像关于直线x=-对称D.最大值为1,图像关于直线x=-对称【解析】选D.y=cos+sin=-sin x+cos x+sin x=cos x-sin x=cos,所以函数的最大值为1,排除A,C,令x+=0,求得x=-,可得函数图像关于直线x=-对称.6.(多选题)下列关于函数f(x)=2cos(x+45)cos(x-45)性质的叙述正确的是 ()A.函数为偶函数B.函数
4、为奇函数C.函数的最大值为2D.最小正周期为【解析】选AD.函数f(x)=2cos(x+45)cos(x-45)=cos(x+45)+(x-45)+cos(x+45)-(x-45)=cos 2x.所以函数为偶函数,且函数的最大值为1,最小正周期为.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=.【解析】cos(x-y)=,sin 2x+sin 2y=2sin(x+y)cos(x-y)=,故sin(x+y)=.答案:8.下列等式正确的是.(填所有正确等式的序号)2sin 50cos 10=sin 60+sin
5、 402cos 45sin 15=sin 60sin 302cos 50cos 10=cos 60+cos 402sin 45sin 15=cos 60cos 30【解析】由和差化积公式,逐个验证可知:正确.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.计算:tan-4sin.【解析】方法一:tan 20-4sin 200=tan 20+4sin 20=.(构造特殊角,即两角和的一半与两角差的一半)方法二:tan 20-4sin 200=tan 20+4sin 20=.(和差化积公式)10.(2020金华高二检测)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)
6、求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x=-cos 2x-sin 2x=-2sin,则f=-2sin=2,(2)由(1)可知f(x)=-2sin,所以f(x)的最小正周期是.由+2k2x+2k,kZ,得+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间是,kZ.【补偿训练】已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x.(1)若点P(1,-)在角的终边上,求f()的值.(2)若x,求f(x)的值域.【解析】(1)因为点P(1,-)在角的终边上,所以sin =-,cos =.所以f()=sin 2-2sin 2=2sin
7、 cos -2sin 2=2-2=-3.(2)f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x+cos 2x-1=2sin-1,因为x,所以-2x+,所以-sin1.所以f(x)的值域为-2,1.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.计算sin 105cos 75的值是()A.B.C.-D.-【解析】选B.方法一:倍角公式sin 105cos 75=cos 15sin 15=sin 30=.方法二:积化和差公式sin 105cos 75=(sin 180+sin 30)=.2.已知sin=,则cos2的值为()A.
8、B.C.D.【解析】选D.因为sin=,则cos2=cos2=sin2=.3.函数f(x)=cos+cos的最大值为()A.-B.1C.D.2【解析】选C.方法一:由和差化积公式,得函数f(x)=cos+cos=2coscos=cos.所以函数的最大值为.方法二:由辅助角公式,得函数f(x)=cos+cos=sin+cos=sin=sin=-sin所以函数的最大值为.【补偿训练】函数f(x)=sin+cos的最大值为()A.B.C.1D.【解析】选D.函数f(x)=sin+cos=sin+sin=sin.因为y=sin的最大值为1,所以函数f(x)的最大值为.4.(多选题)下列关于函数f(x)
9、=2coscos x的说法正确的为()A.最小正周期为B.最大值为2,最小值为-2C.函数图像关于直线x=-对称D.函数图像关于点对称【解析】选ACD.由积化和差公式,得2coscos x=cos+cos=cos+.所以函数的最小正周期为,最大值为,最小值为-.由2x+=kx=-,kZ,所以函数图像关于直线x=-对称,由2x+=k+x=+,kZ,所以函数图像关于点对称.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x-),其中sin =,cos =,当x-=2k+(kZ)时函
10、数f(x)取到最大值,即=2k+时函数f(x)取到最大值,所以cos =-sin =-.答案:-6.计算=.【解析】=2-.答案:2-7.求值:cos+cos+cos=.【解析】cos+cos+cos=-答案:-8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(如图所示,CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接.试问水深、芦苇的长度各是多少.假设=BAC,现有下述四个结论:水深为12尺;芦苇长为15尺;tan=;t
11、an=-.其中所有正确结论的编号是.【解析】设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,因为AB=5,所以52+x2=(x+1)2,所以x=12.即水深为12尺,芦苇长为13尺;所以tan =,由tan =,解得tan=(负根舍去).因为tan =,所以tan=-.答案:【补偿训练】已知函数f(x)=(1+tan x)cos x,则函数f(x)图像的一条对称轴是直线.【解析】f(x)=(1+tan x)cos x=cos x=cos x+sin x=2sin.由x+=k+得x=k+(kZ)都为函数f(x)图像的对称轴方程.答案:x=(只要符合x=k+,kZ都正确,不唯一)三、解答题(共38分)9.(1
12、2分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)为奇函数,且f=0,其中aR,(0,).若f=-,求sin的值.【解题指南】借助诱导公式解决奇函数的问题,f=0的条件直接代入即可.先化简解析式,再代入已知条件.【解析】因为y=(a+2cos2x)是偶函数,所以g(x)=cos(2x+)为奇函数,而(0,),故=,所以f(x)=-(a+2cos2x)sin 2x,代入得a=-1.所以a=-1,=.f(x)=-(-1+2cos2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-sin 4x,因为f=-,所以f=-sin =-,故sin =,又,所以cos =-,sin=+=.10.(12
13、分)计算:tan 10+.【解析】tan 10+=+=+=.【补偿训练】已知cos -cos =,sin -sin =-,求sin(+)的值.【解题指南】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.【解析】因为cos -cos =所以-2sinsin=又因为sin -sin =-,所以2cossin=-.因为sin0,所以由,得-tan=-,即tan=.所以sin(+)=.11.(14分)已知函数f(x)=cos2-sin cos -.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若f()=,求sin 2的值.【解题指南】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)=Acos(x+)形式,再求解.(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值.【解析】(1)由已知f(x)=cos2-sin cos -=(1+cos x)-sin x-=cos.所以函数f(x)的最小正周期为2,值域为.(2)由(1)知,f()=cos=,所以cos=.所以cos -sin =,平方得1-sin 2=.所以sin 2=.
