1、上海市金汇高中2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分，本大题共有12题）1. 已知等差数列中，则_【答案】9【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以，故答案为：92. 已知是角终边上一点，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值【详解】解：是角终边上一点，则，故答案为【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题3. 在中，若，则_【答案】#【解析】分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，即故答案为:4. 计算：_.【答案】【解析】【分析】直接
2、利用反三角函数运算法则写出结果即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查反三角函数的运算法则的应用，属于基础题5. 已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_【答案】【解析】【详解】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=故答案为6. 已知点、，则向量_.【答案】【解析】【分析】由点坐标减去点点坐标即得.【详解】点、，.故答案为：.【点睛】本题考查有向线段表示向量，它的坐标是其终点的坐标减去始点的坐标，属于基础题.7. 设无穷等比数列的各项和为，若该数列的公比为，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，无穷等比数列的各项和
3、为，且公比为，可得，可得，所以.故答案为：.8. 若，则_【答案】3【解析】【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解【详解】tan2，则故答案为3【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于简单题.9. 已知中，则_【答案】【解析】【详解】 ,.10. 函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_.【答案】 【解析】【详解】作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.故答案为11. 已知关于的实系数方程两个虚根为，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据关于的实系数的方程有两个虚根，由解得a的范围，再根据及两根互为共轭，由求解.【详解】由，得，因为，所以即，解得或(舍)，所
4、以.故答案为：12. 如图是函数在一个周期内的图像，该函数图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴正方向的单位向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意和三角函数图象与性质，求得，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.【详解】因为函数，由，所以，令，即，可得，即，当时，所以，因为函数关于点对称，所以关于的对称点为，即的中点为，所以，又由为轴正方向的单位向量，所以，所以.故答案：.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）13. 用数学归纳法证明等式，在验证成立时，左边需计算的项是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将代入等式
5、左边可得出结果.【详解】当时，等式左边，故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法证明等式的问题，考查对数学归纳法基本概念的理解，属于基础题.14. 若，且，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】，选B15. 已知集合M=1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i，N=-1，3，且MN=3，则实数m的值为（ ）A. 4B. -1C. -1或4D. -1或6【答案】B【解析】【分析】根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；详解】由于,故,必有,所以即得.故选：B16. 如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小
6、正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个【答案】D【解析】【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果【详解】根据向量数量积的几何意义可知，所以所有中有3个数值.故选：D三、解答题（本大题共4题，满分36分）17. 已知复数，其中为虚数单位.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零；（2）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零.【详解】（1）若复数是实数，则所以或.（2）若复数是纯虚数，则所以.【点睛】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式
7、关系是解决本题的关键，属于基础题.18. 已知向量，且与的夹角为（1）求及；（2）若与垂直，求实数的值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，由，求得m，再得到 的坐标求解.（2）根据题意，直接计算 与的坐标，根据与 垂直，列式求解.【小问1详解】因为向量，且与的夹角为，所以，解得，所以 ，则.【小问2详解】由（1）知m = 1，故，故，因为 与 垂直，所以，解得.19. 函数的部分图象如图所示（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1）周期为， （2）最大值是3，最小值是【解析】【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求；
8、（2）首先求的范围，再求函数的最值.【小问1详解】,令，解得：，由图可知，当时，此时函数取得最大值；【小问2详解】当时，此时 所以函数的最大值是3，最小值是20. 在平面直角坐标系中，为原点，两个点列、和、满足：，； ，（1）求点和的坐标；（2）求向量、的坐标【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）根据题意赋值求解；（2）根据题意结合等差、等比数列以及累加法分析运算.【小问1详解】设，令，则，则，解得，设，令，则，则，解得，同理可得：.【小问2详解】设，则，且，则，数列是以首项，公比的等比数列，则，故当时，满足上式，所以；又，则，即，故数列为常数列，则，设，则，则数列是以首项，公差的等差数列，故，同理可得：，故.
