1、高二上学期10月份阶段测试注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答卷前，请将自己的姓名、考号试用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定位置上。3选择题答案用2B铅笔在答题卡把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。数 学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.过，两点的直线的倾斜角是（ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 135【答案】
2、D2.设aR，则“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若a2，则直线l1：2x2y10与直线l2：xy40平行；若“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”，解得a2或a1，“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”的充分不必要条件故选：A3.点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为.故选：B4.由伦敦
3、著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线1(a0，b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A. yx B. yx C. yx D. y2x【答案】B【解析】因为1(a0，b0)，所以下焦点为(0，c)，渐近线方程为yx，即axby0，因为e2，解得，即，所以渐近线方程为：yx.故选B.5.已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最小值是（） A6 B5C4 D3【答案】D【解析】 ， 设椭圆的右焦点为 ，
4、 ，当 在 的正上方时，等号成立.故答案为：D6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，7.已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，消去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，的最大值为故选：C.8.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，若，在第一象限内的交点为P
5、，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，所以所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得： 2+2可得 由勾股定理知，代入上式可得 整理得，即 所以故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC 【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C
6、：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC10.已知，则下述正确是（ ）A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部C. 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交【答案】ACD【详解】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选：ACD11. 已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线C的方程为B. 点A到双曲线C的渐近线
7、的距离为C. 若，则D. 若，则的外接圆半径为【答案】ABD【解析】由离心率为，右顶点为可得，故双曲线C的方程为，A正确；双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；由双曲线的定义，则或10，C错误；，则，的外接圆半径为，D正确.12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）A椭圆的长
8、轴长为B线段AB长度的取值范围是CABF面积的最小值是4DAFG的周长为【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为 答案：14.经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 答案：15.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，B(4,0)，点P满足.则当P，A，B三点不共线时，PAB面积的最大值为 【解析】设P(x，y)，则|PA|，|PB|，因为，所以2，即4(x2)2y2(x4)2y2，整理可得x2y28x0，即(x4)2y216，如图所示：当P在圆心Q(
9、4,0)的正上方或正下方时，P到AB的距离最大，且为半径4，所以PAB面积的最大值为|AB|PQ|6412.16.已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为 【解答】解：设，即，同理可得，两点均在椭圆上，两式相减整理得，即，同理可得，得，又，即，离心率故答案为：四、解答题，本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（满分10分） 已知直线l经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且_（1） 求直线l的方程；（2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中
10、，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 与直线2xy10平行；直线l在x轴上的截距为.【解析】选：(1)直线l经过直线l1：xy40与直线l2：xy20的交点P，解方程组解得即P(1,3) 2分直线l平行于直线2xy10，设直线l的方程为2xym0，m1把P(1,3)代入，得23m0，解得m1， 4分直线l的方程为2xy10. 5分(2) 在直线l：2xy10中，令x0，得y1；令y0，得x.8分直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S1. 10分选：(1) 直线l经过直线l1：xy40与直线l2：xy20的交点P，解方程组解得即P(1,3)， 2分由题意知直线l的斜率存在，设为k
11、，且k0，则l为y3k(x1)直线l在x轴上的截距为，k2， 4分直线l的方程为2xy10. 5分(2) 在直线l：2xy10中，令x0，得y1；令y0，得x. 8分直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S1. 10分18.（满分12分） 已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【解析】（1）由题意，易知，且.在中， 1分由双曲线的定义可知，即. 2分双曲线C的两个焦点分别为，. 4分又， 故双曲线C的虚轴长为 6分（2）解：由（1）知双曲线C的方程为. 设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为 8分将点的坐标代入上
12、述方程，得 10分故所求双曲线的标准方程为 12分19.（满分12分） 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，试求
13、的值.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则，1分又， 2分联立解得：，即， 3分所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，4分即点到圆上的点的最短距离，即为. 6分（2） 过点A倾斜角为45的直线方程为：，设两个交点，联立，消去y得. 8分（3） 由韦达定理， ， 9分 10分. 12分20.（满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y24与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：(x2)2y2r2(r0)与圆O交于B，C两点（1） 求的最小值；（
14、2）设P是圆O上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求SPOMSPON的最大值【解析】(1) 由对称性，设B(x0，y0)，C(x0，y0)，则xy4，所以(x02)2y(x02)2(4x)2(x01)22， 3分因为2x02，所以当x01时，取得最小值为2. 5分(2) 设P(x1，y1)(y1y0)，则xy4，直线PB的方程yy1(xx1)，令y0，得xM，直线PC的方程yy1(xx1)，令y0，得xN，7分分别所以xMxN4， 9分于是SPOMSPON|OM|ON|y|xMxN|yy， 11分因为2y12，所以当y12或y12时，SPOMSPON取得最大值为4. 1
15、2分21.（满分12分） 已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)曲线为椭圆，标准方程为：；(2)存在定点，使得恒成立【详解】（1）设，则， 2分整理可得：， 4分曲线为椭圆，标准方程为：. 5分(2)当直线与轴垂直时，即，由椭圆对称性可知：，点在轴上； 6分当直线与轴垂直时，即，则，若存在定点，则由知：点在轴上，可设，由得：，解得：（舍）或，；则若存在定点满足题意，则点坐标必然是， 8分只需证明当直线斜率存在时，对于，都有成立即可.设，由得：，其中恒成立， 10分设点关于轴的对称点为，则，即三点共线，； 综上所述：存在定点，使得恒成立. 12分（另解：证得QA、QB的斜率相等，说明y轴是AQB的角平线，从而得证，同样给分）22.（满分12分） 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，且的最小值为（1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且 ，当A0B的面积S最大时，求的取值范围设，从而，T的取值范围是。 12分
