1、徐汇区高一期末数学自评试卷2022.06一填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 1和9等差中项为_【答案】5；【解析】【分析】由等差中项的定义可得，解之可得【详解】设1与9两数的等差中项为a，则可得，解得，故答案为：5【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，考查等差中项的定义和求法，属于容易题2. 已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量为_【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】解：在方向上的投影向量为，故答案为：.3. 如图，在复平面上给定平行四边形OABC，其中点A与点C分别对应复数 与 ，则点B所对应的复数为_【答案】#【解析】【分析
2、】先根据A，C点坐标，将OA和OC转化为向量求出OB，再根据B点的坐标写出B对应的复数.【详解】由题意可知， ， ；故答案为： .4. 若复数z满足，则_【答案】5【解析】【分析】利用复数的运算法则，算出和，再求模即可【详解】故答案为：55. 假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位，若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有_个座位【答案】37【解析】【分析】设第排的座位数为,则为等差数列，且，先算出公差，再求第12项即可【详解】设第排的座位数为,则为等差数列,且所以公差所以所以第12排有37个座位故答案为 ：376. 设数列为等差数列，其前n项和为，且
3、满足，则=_【答案】270【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，结合等差数列的前项和公式可得答案.【详解】故答案为：2707. 计算：_（为虚数单位）【答案】#【解析】【分析】直接由复数的加法运算及乘方运算求解即可.【详解】易得，则.故答案为：.8. 已知两点、，点满足，则的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设点，利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可求得点的坐标.【详解】设点，由可得，所以，解得，故点.故答案为：.9. 已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=_【答案】【解析】【分析】由等比数列的前n项和，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得，由此可得结果
4、【详解】由等比数列的前n项和，可得首项，再由等比数列的定义可得，解得t=1，当时，当时，也满足，故 经检验符合题意.故答案为：1.10. 已知数列满足，且（n为正整数），则_【答案】6【解析】【分析】先计算前面几项，得出周期再计算【详解】即,所以是周期为6数列因为所以故答案为：611. 已知数列的递推公式为，则数列的前n项和=_【答案】【解析】【分析】由已知凑配出等比数列，从而求得通项公式，然后用分组求和法求【详解】由得，又，所以是等比数列，公比为2，所以，故答案为：12. 将正奇数13579按照如右规则排列：即从第二行起的每一行的数字个数是上一行的两倍.设2023是第i行的第j个数（从左往右
5、数），则_【答案】【解析】【分析】设，由第行有个数，可得前行一共有个数，进而可得，令，则满足不等式的最大整数为10，即，再由等差数列的通项公式求，从而即可得答案.【详解】解：设，由已知，可得这个数阵的第行有个数，前行一共有个数，所以，令，则满足不等式的最大整数为10，即，则，解得，所以，所以，故答案为：.二选择题（本大题共4题，满分20分）13. 用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先分析题目在验证是否成立时，把代入左边，即可得出结果.【详解】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法
6、，属于基础题.14. 已知为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件A. 充要B. 必要不充分C. 充分不必要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】解：依题意，若，可得，不一定是锐角，若为锐角，即，可得，所以为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B.15. 复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）A. 正数B. 负数C. 实部不为零的虚数D. 纯虚数【答案】D【解析】【分析】根据纯虚数的定义即可判断【详解】复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0,虚部不为0,故为纯虚数故选：D16.
7、已知数列是严格增数列，满足，且.则n的最大值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.【详解】 ，并且是严格增数列， ， ，即 ， ，即n的最大值为12；故选：C.三解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知向量，.（1）求；（2）当k为何实数时，与平行？【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由坐标线性运算求得，再由模长的坐标运算求解即可；（2）先由坐标线性运算求得，再由平行的坐标公式求解即可.【小问1详解】，则；【小问2详解】，则，解得.18. 已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚
8、根和.（1）求k的取值范围；（2）若，求k值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，求解不等式即可得答案；（2）由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解.【小问1详解】解：因为关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，所以，解得，所以k的取值范围为；【小问2详解】解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，所以，所以，解得.19. 已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由.【答案】（1） （2）有，最大项为第8，9项【解析】【分析】（1）利用数列的前n项和为与通项的关系即可求解；（2）比较
9、与1的大小关系，利用数列的单调性即可求解.【小问1详解】解： 当时，所以，又当时，也满足上式，所以；【小问2详解】解：由（1）知，当时， ，所以，令，得，当时，即； 当时，即；当时，即；所以数列先增后减，有最大项且最大项为第8，9项.20. 数列中，前n项和为.（1）若数列为等比数列，且满足，求；（2）若数列为等差数列，公差为d，且对任意正整数n均满足，求d的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出等比数列公比，求出，即可求得；（2）分析可得，分、两种情况讨论，结合数列的单调性可求得的取值范围.【小问1详解】解：，则，所以，等比数列的公比为，因此，.故.【小问2详解】解：由已
10、知可得，则，即，可得.当时，可得；当时，则，所以，因为数列为单调递增数列，而，故.综上所述，.故d的取值范围为.21. 对给定实数p，若数列满足以下三个条件：，；对任意正整数n，；对任意正整数mn，.则称数列为“数列”.（1）对前4项为202的数列，可以是数列吗？说明理由；（2）若是数列，求的值；（3）是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.【答案】（1）不是，理由见解析 （2）1 （3）存在，2【解析】【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；(3)构造数列，易知数
11、列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.【小问1详解】由性质结合题意可知，矛盾，故前4项的数列，不可能是数列.【小问2详解】性质，由性质，因此或，或，若，由性质可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾因此只能是.又因为或，所以或.若，则，不满足，舍去.当，则前四项为:0，0，0，1，下面用归纳法证明：当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，当时：若，则，利用性质：，此时可得：；否则，若，取可得：，而由性质可得：，与矛盾.同理可得：，有；，有；，又因为，有即当时命题成立，证毕.综上可得：，.【小问3详解】令，由性质可知：，由于，因此数列为数列.由（2）可知:若；，因此，此时，满足题意.
