1、上海市复旦中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知全集，集合，则_.【答案】【解析】【分析】先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据集合的补集的概念及运算，可得.故答案为：.2. 已知向量，若，则_.【答案】2【解析】【分析】根据得到，从而得到的值.【详解】因为向量，且，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，同角三角函数关系，属于简单题.3. 行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则_【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算
2、即可得出结果.【详解】由题意得解得：故答案为【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.4. 二项式展开式的各项系数的和为_【答案】81【解析】【分析】由二项式各项系数和性质，令即得解【详解】由题意，令，可得二项式展开式的各项系数的和为故答案为：815. 若满足，则目标函数的最大值是_【答案】；【解析】【详解】画出可行域,如下图阴影部分,其中令 ，则,为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点时, 有最大值3.6. 直线倾斜角是_.（用反三角表示）【答案】【解析】【分析】将直线的参数方程整理为直线的一般方程,进而得到倾斜角【详解】由题,可得,设倾斜角为,【点睛
3、】本题考查直线的参数方程与一般方程的转化,考查反三角函数求角7. 已知幂函数过点，则的反函数为_【答案】（）【解析】【分析】先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题8. 设等差数列的公差为，前项和为，则_.【答案】【解析】【分析】由等差数列性质表示出，再结合极限定义求解即可【详解】设数列首项为，则，则故答案为：【点睛】本题考查数列极限的求法，等差数列性质的应用，属于基础题9. 一颗标有数字的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为，使得复数为实数
4、的概率是_.【答案】【解析】【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，满足条件的事件是使复数为实数，进行复数的乘法运算，得到的结果，列举出所有情况，得到概率【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，满足条件的事件是使复数为实数，要使是一个实数，有，或，因为，所以有，；，；，共有3种结果，由古典概型得到概率，故答案为：10. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】可将几何体还原，分析可知求解的是长方体外接球的表面积【详解】如图，将几何体还原成长方体，则长方体外接球的半径，则球体的
5、表面积为：故答案为：【点睛】本题考查几何体外接球的表面积求法，能根据题意还原出几何体是关键，属于基础题11. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，线段的延长线与直线交于点，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】由题意可得为,准线方程为,过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,可得,进而得到,化简即为所求【详解】由题可得,为,准线方程为,过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,则由抛物线的定义得,且易得,即,两边同时除以故答案为2【点睛】本题考查抛物线的定义,标准方程,考查抛物线的性质的应用,考查数形结合12. 已知数列通项公式为，数列的通项公式为 ，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取
6、值范围是_;【答案】.【解析】【详解】试题分析：数列是取和中的最大值，据题意是数列的最小项，由于函数是减函数，函数是增函数，所以或，即或，解得或，所以考点：分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题二选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由无穷递减等比数列的各项的和为，可求出答案.【详解】无穷等比数列的首项为1，公比为所以各项和为 故选：D14. 一组统计数据与一组统计数据相比较是A. 标准差相同B. 中位数相同C. 平均数相同D. 以上都不同【答案】D【解析】【分析】根据
7、数据，的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据，的平均数、方差、标准差和中位数即可【详解】设数据，的平均数为，方差为，标准差为，中位数为；则数据，的平均数为，方差为，标准差为，中位数为；它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同故选：D【点睛】本题考查数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，考查数据处理能力，属于基础题15. 在中，若，则是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.【详解】由正弦定理，即，因为，所以，所以是等边三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理将边
8、化角，从而判断三角形的形状，属基础题.16. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”给出下列4个函数：； ； 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性.当时,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有一个.为函数的“可等域区间”,当时,函数单调递增,满足条件,n取值唯一.故满足条件.单调递增,且函数的定义域为,若存在“可等域区间”,则满足,即,n是方程的两个根,设
9、,当时,此时函数单调递增,不可能存在两个解,故不存在“可等域区间”.所以B选项是正确的.三解答题（本大题共5题，满分76分）17. 设在直三棱柱中，依次为的中点.（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数表示）（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由于几何体比较规则，优先考虑建系法，以A为原点建立空间直角坐标系（1）分别表示出向量，利用夹角公式即可求解；（2）求出平面的法向量，再表示出，利用点到直线距离的向量公式即可求解详解】（1）如图所示，以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，则；（2），设平面的法向量为，则有，令，解得，则，点到平面的距离为【点
10、睛】本题考查异面直线夹角的求法，点到平面距离公式，属于中档题18. 已知函数（，）是上的偶函数，其图像关于点对称.（1）求的值；（2），求的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数是偶函数可先求得，再将对称点代入可求得关于的通式，结合即可求得具体值；（2）结合函数表达式，由求得的范围，再结合函数图像即可求得函数值域，进而求解；【详解】是上的偶函数，又，又图像关于点对称，化简得，又，所以；（2），由，【点睛】本题考查由三角函数的性质求解具体参数，在给定区间内求余弦型三角函数的最值，属于中档题19. 治理垃圾是S市改善环境的重要举措去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过
11、扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的（1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；（2）设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由【答案】（1） （2）有效，理由见详解【解析】【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【小问1详解】设治理年后，S市的年垃圾排放
12、量构成数列.当时，是首项为，公差为的等差数列，所以；当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为【小问2详解】设为数列的前项和，则由于 由（1）知，时，所以为递减数列， 时，所以为递减数列，且，所以为递减数列，于是因此，所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的20. 已知椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点.（1）求椭圆的方程；（2）若线段长为，求直线的倾斜角；（3）点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【
13、分析】（1）由椭圆长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出，即可求椭圆的方程；（2）直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论（3）设直线的方程为，由，得，由此根据和两种情况分类讨论经，能求出结果【详解】解：（1）椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，解得，所以椭圆的方程为（2）由（1）可知点的坐标是设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为代入椭圆方程，消去并整理，得由，得从而所以由，得整理得，即，解得所以直线的倾斜角或（3）由（1）可知设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，于是，两点的坐标满足方程组
14、，由方程组消去并整理，得，由，得，从而，设线段是中点为，则的坐标为，以下分两种情况：当时，点的坐标为线段的垂直平分线为轴，于是，由，得；当时，线段的垂直平分线方程为，令，解得，由，整理得，故，解得综上或【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、分类讨论思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，属于中档题21. 若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证
15、明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）2037171；（3）证明见解析，.【解析】【分析】（1）先令，解出，然后再令解出；（2）由题意可以推出是以为首项，公比为的等比数列，然后得出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求的值；（3）先令，得出，然后令，得可证明为偶函数；由时，则，即，令(为正整数)，有，由此可递推得到对于任意为正整数，总有成立，即有时，成立，可设，其中是非负整数，都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小.【详解】解：（1）令，得，；再令，得，.（2）由题意可知，令，得，.是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此，故有所以（3）令，又，令，即.对任意的实数总成立，为偶函数.结论：.证明：设，时，即.令，故，总有成立.对于，总有成立.对于，若，则有成立.，所以可设，其中，是非负整数，都是正整数，则，令，则.，即.函数为偶函数，.【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.
