1、余弦定理、正弦定理应用举例距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量,所以计算时应当用数据a,b,.2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,则AB的长为()A.200 mB.200 mC.200 mD.500 m【解析】选C.在ABC中,由余弦定理得AB2=
2、AC2+BC2-2ACBCcosACB,所以AB2=4002+6002-2400600cos 60=280 000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,则B,C间的距离是()A.10海里B.5海里C.5海里D.5海里【解析】选C.在ABC中,A=60,B=75,C=180-60-75=45,根据正弦定理得,得=,解得BC=5.4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时
3、两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70 n mile.5.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 kmC.30 kmD.30 km【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船与灯塔的距离为6
4、0 km.6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km【解析】选B.如图,在ABC中,AC=BC=a km,ACB=180-(20+40)=120,所以AB=a(km).二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120 m,则河的宽度为_.【解析】在ABC中,AB=120 m,A=30,B=75,则C=180-A-B=75,所以AC=AB=120
5、m,则河的宽度为ACsin 30=60 m.答案:60 m8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向,汽车向南行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75方向,则小岛到公路的距离是_km.【解析】如图,CAB=15,CBA=180-75=105,ACB=180-105-15=60,AB=1 km.由正弦定理得=,BC=(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin 75=(km).答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45
6、,求A,B之间的距离.【解析】在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,所以AC=CD=(km).在BCD中,BCD=45,BDC=75,CBD=60.所以BC=(km).ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2cos 75=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之间的距离为 km.10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120角,甲、乙两船航速之比为21,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然EAD=60.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,A
7、C=2s,而EAD=60,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60=7(s-2)2+21(0s7).所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.即甲船离港4海里,乙船离港5海里.故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图,货轮在海上以36 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32.则此时货轮与灯塔之间的距离为()A.7 n mileB.
8、8 n mileC.9 n mileD.10 n mile【解析】选C.在ABC中,B=152-122=30,C=180-152+32=60,A=180-30-60=90,BC=18,所以AC=18sin 30=9(n mile).2.一船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60,另一灯塔在船的南偏东75,则这艘船每小时航行()A.5海里B.6海里C.7海里D.8海里【解析】选D.如图,由题意知在ABC中,ACB=75-60=15,B=15,所以AC=AB=8.在RtAOC中,OC=ACsin 30=4.所以这艘船每小时航行=
9、8(海里).3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A. n mile/h B.34 n mile/hC. n mile/h D.34 n mile/h【解析】选A.如图所示,在PMN中,=,所以MN=34,所以v= n mile/h.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得
10、cos ACB=-,所以sin ACB=.又ACB+ACD=180,所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中,AD=ACsin ACD=15=(m).二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角ABC=120,从B处攀登400米后到达D处,再看索道AC,发现张角ADC=150,从D处再攀登800米到达C处,则索道AC的长为_米.【解析】在ABD中,BD=400米,ABD=120,因为ADB=180-ADC=30,所以DAB=30,所以AB=BD=400米,AD=400米.在ADC中,DC=8
11、00,ADC=150,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC=(400)2+8002-2400800cos 150=400213,所以AC=400米,故索道AC的长为400米.答案:4006.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,ADB=135, BDC=DCA=15,ACB=120,则图中海洋蓝洞的口径为_.【解析】由已知得,在ACD中,ACD=15,ADC=150,所以DAC=15,由正弦定理得AC=40(+).在BCD
12、中,BDC=15,BCD=135,所以DBC=30,由正弦定理得=,即BC=160sin 15=40(-).在ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600(8+4)+1 600(8-4)+21 600(+)(-)=1 60016+1 6004=1 60020=32 000,解得AB=80.故图中海洋蓝洞的口径为80.答案:80三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),直线OB的倾斜角为45,且|OB|=.(1)求点B的坐标及线段AB的长度;(2)在平面直角坐标系xOy中,取1厘米为单位长度.现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发,沿倾斜角为6
13、0的射线BC运动,另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发做直线运动,如果要使得质点Q与P会合于点C,那么需要经过多少时间?【解析】(1)设点B(x0,y0),依题意x0=cos 45=1,y0=sin 45=1,从而B(1,1),又A(-3,1),所以ABx轴,则|AB|=|1-(-3)|=4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C,则AC=t厘米,BC=t厘米.由ABx轴及BC的倾斜角为60,得ABC=120.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120,所以2t2=16+t2+8t,化简得t2-4t-16=0,解得t=2-2(舍去)或t=2+2.即若要使得质点Q
14、与P会合于点C,则需要经过(2+2)秒.8.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60 的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设AMN=,在AMN中,=.因为MN=2,所以AM=sin (120 -).在APM中,cosAMP=cos(60 +).AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP=sin2(120 -)+4-22sin (120 -)cos(60 +)=sin2(+60)-sin (+60 )cos(+60 )+4=1-cos(2+120 )-sin (2+120 )+4=-sin (2+120 )+cos(2+120 )+=-sin (2+150 ),0120.当且仅当2+150 =270 ,即=60 时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.所以设计AMN=60 时,工厂产生的噪声对居民影响最小.