1、北京市大学附属中学2021届高三数学上学期阶段性检测试题（含解析）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=（ ）A. 4B. 2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 命题：对任意，的否定是( )A. ：存在,B. ：存在,C. ：
2、不存在,D. ：对任意，【答案】A【解析】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在，.考点：全称命题的否定3. 函数y=xcosx+sinx在区间，的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势
3、(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项4. 设，则大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.5. 已知函
4、数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：, .当时且
5、,则成立.当时, 不一定得到.所以“”是“”的充分不必要条件.故A正确.考点：充分必要条件.7. 函数在区间内的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数，在同一坐标系内画出函数与的图象，数形结合可得结论【详解】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数在同一坐标系内画出函数与的图象，如图由图得区间内的交点3个，故函数在区间内的零点个数为3个；故选：【点睛】本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两
6、个函数的图象的交点个数来判断函数的零点个数8. 已知函数若关于方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】试题分析： 分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：计算切线斜率，假设直线与的切点为 ，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程： ，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到 ，即 ，解得 ，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.考点：1函数图像;2数形结合思想.【详解】9. 已知且，若在上恒成立，则（ ）A. B. C.
7、 D. 【答案】C【解析】【分析】设，求得函数的零点，根据在上恒成立，讨论的符号，结合三次函数的图象，即可求解.【详解】设，可得函数的图象与轴有三个交点，即有三个零点且，由题意知，在上恒成立，则，可得恒成立，排除B，D；当零点重合时，即中间和右边的零点重合，左边的零点再负半轴上，则由或或三种情况，此时显然成立；若，则不成立；若，即，可得且和都在正半轴上，符合题意，综上恒成立.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立，其中解答中结合三次函数的图象和零点的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及分类讨论思想，属于中档试题.10. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个
8、元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT对于任意x，yT，若xy，则S；下列命题正确的是（ ）A. 若S有4个元素，则ST有7个元素B. 若S有4个元素，则ST有6个元素C. 若S有3个元素，则ST有5个元素D. 若S有3个元素，则ST有4个元素【答案】A【解析】【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，则，且，则，同理，若，则，则，故即，又
9、，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若， 则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题：11. 已知角的终边过点，则_【答案】【解析】试题分析：由任意角三角函数的定义可得.考点：任意角三角函数的定义.12. 已知（为虚数单位），则实数的值为_
10、【答案】1【解析】试题分析：,.考点：复数的运算.13. 设为单位向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，再将平方即可.【详解】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为:.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_(2)据测定，当空气中每
11、立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室【答案】 (1). (2). 0.6【解析】【分析】（1）分别讨论，两种情况，根据一次函数以及指数函数的性质，求出对应的解析式即可；（2）观察图象可知，药物含量在段时间内逐渐递增，在时刻达到最大值1毫克，在时刻后，药物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有，求解，即可得出结果.【详解】（1）依题意，当，可设与函数关系式为，易求得，当时，y与t的函数关系为，观察图象过点，所以，解得，所以； 含药量与的函数关系式为（2）由图像可知与的关系是先增后减的，在时，从增加到1；然后时，从
12、1开始递减 当药物含量到0.25毫克时，由，解得，至少经过0.6小时，学生才能回到教室【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，以及指数函数的应用，熟记指数函数的性质，以及分段函数的性质即可，属于常考题型.15. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得：存在，使得成立，然后可化为，然后求出右边对应函数的值域即可【详解】由题意可得：存在，使得成立即所以，所以所以令，易得在上单调递增当时，所以的值域为所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】若方程有根，则的取值范围就是的值域.三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（
13、）求函数的最小正周期；（）若函数在上为单调函数，求的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用周期公式即可求解. （）根据，求出，根据正弦函数的性质，只需，解不等式即可求解.【详解】（），所以.（）由，因为，所以，若函数在上为单调函数，则，解得.17. 在中，.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知.求：（）的值；（）和的面积.条件：；条件：.【答案】（）；（）；【解析】【分析】选：（）利用两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解.（）利用三角形的面积公式即可求解.选：（）利用余弦定理即可求解.（）；利用正弦定理以及三角形的面积公式即
14、可求解.【详解】选：， （）由，则，中，由正弦定理，即 ，解得，（）由（）可得，.选：（）在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）. 在中，由正弦定理，解得，.18. 己知函数，.（）是否存在使得0为函数的极值点？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（）若函数有且只有两个零点，求的值.【答案】（1）不存在，详见解析；（2）1.【解析】【分析】（）求导，根据0为函数的极值点，令，求得a的值，再利用极值点的定义验证即可.（）令，得，易得当函数取得极大值，当时，函数取得极小值，再根据函数有且只有两个零点，由或求解.【详解】（）由函数，.得，.若0为函数的极值点，则，解得，此时，函数单调递增，无极值点
15、，所以不存在使得0为函数的极值点；（）令，得，当或时，当时，所以当函数取得极大值，当时，函数取得极小值，若函数有且只有两个零点，则或，即或，解得或（舍去）【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 已知函数的部分图象如图所示.（）直接写出，的值（只需写出结论）；（）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（），；（），【解析】【分析】（）由图像可得，求出周期，进而求出，再利用可得的值. （）利用三角函数的性质即可求解.【详解】（），.（）由（）可得，因为，所以，所以，所以，即，所以当时，当时，.20. 已知函数，.（）求证：曲线在点处的切线
16、方程与实数的取值无关；（）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）证明见详解；（）【解析】【分析】（）求出导函数，并求出以及，求出切线方程即可证出. （）讨论或，分离参数，转化为求函数的最值，利用导数求出函数的最值即可求解.【详解】（）由，则，由，所以在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程与实数的取值无关，即证.（）对恒成立，即对恒成立，对恒成立，当时，恒成立，当时，对恒成立，令，令，解得，在，上单调递增，在上单调递减，故实数取值范围为.21. 对于数列，记，.设数列，和数列，是两个递增数列，若与满足，且，则称，具有关系.（）若数列：4，7，13和数列：3，具有关系，求，的值；（）证明：当
17、时，存在无数对具有关系的数列；（）当时，写出一对具有关系的数列和，并验证你的结论.【答案】（）；（）证明见详解；（）数列，；数列，；验证过程见详解.【解析】【分析】（）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（）由（），得到对任意，都有，推出对任意，都能使数列，和数列，具有关系，即可证明结论成立；（）通过试根的方法，确定一组满足，且具有关系的数列和，再由数列新定义验证，即可得出结果.【详解】（）由题意可得，解得；（）由（），因为，对任意，都有，即，则，和，一组重新按从小到大顺序排列得到新数列，和，一组重新按从小到大顺序排列得到新数列，此时数列和数列满足，；当时，可得数列，和数列，具有关系；满足题意；当时，不能满足，当时，不能满足，当时，数列中的项按递增顺序排列为，；数列中的项按递增顺序排列为，；此时满足；综上，除和外，对于任意的正整数，都能满足题意；即当时，存在无数对具有关系的数列；（）取数列，；数列，；则，即；，即；所以，具有关系.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，本题中，根据数列具有关系的定义，列出方程求解，可得第一问，再第一问的基础上，可证明第二问成立，第三问可通过试根法确定一对数列，再结合新定义验证即可，属于难题.
