1、大兴区20192020学年度第一学期期中检测试卷高二数学一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设,则一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值,即可判断出ABC的正误,利用不等式的性质即可判断出D的正误【详解】因为,选项A中,取,可知,因此不正确;选项B中,取,可知和不存在,因此不正确;选项C中,取,可知,因此不正确;选项D中,由,根据不等式的性质,可知正确.故选:D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立,属于简单题.2.若数列满足,则( )A. 6B. 7C. 8D. 9
2、【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系,逐步求解,得到答案.【详解】因为,所以,故选:C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项,属于简单题.3.若,且,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式,求出的最大值,得到答案.【详解】因为,且,由基本不等式得,所以,当且仅当时,等号成立.故选:B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值,属于简单题.4.若数列满足,则的前项和为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选:C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和,属于简单
3、题.5.设是任意实数,则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值,分别判断充分性和必要性,从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知,所以由可以得到,当,时,满足,但不满足所以由不能得到,所以“”是“”的充分而不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查基本不等式的应用,充分而不必要条件的判断,属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为,离心率为的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,则地球到太阳的最小距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭圆的,根据
4、椭圆的几何性质,得到最小距离,从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为,离心率为,所以由,得,而太阳在这个椭圆的一个焦点上,所以地球到太阳的最小距离为.故选:C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义,椭圆上的点到焦点的距离,属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质,求出到两焦点的距离,再利用椭圆的性质可求出与之间的关系,然后求解离心率,得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为,连接,设与直线交于点,由题意可知为线段的中点,所以,又因,所以,在中,可得,故,根据椭圆的定义,得,即,
5、得,所以,所以椭圆离心率.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质,点关于直线的对称点,属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点,得到的大小关系,从而得到成等差数列和等比数列的情况,得到关于的方程,求出的值,从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点,所以,可得都是正数,由,可得,所以,不妨假设,这三个数可适当排序后成等差数列,则需按从大到小或从小到大排列,为的等差中项,即或成等差数列,所以,这三个数可适当排序后成等比数列,则需为的等比中项,即或成等比数
6、列,即所以解得,(舍去负值)从而得到,所以.故选:A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质,一元二次方程根与系数的关系,属于中档题.二、填空题共6小题,每题5分,共30分.9.不等式的解集为_.【答案】.【解析】试题分析:将原不等式变形为,不等式的解集为.考点:解一元二次不等式.10.命题“”的否定是_【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得:“”的否定是,故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程,从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为,从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆上点的范围,属于简单题.12.已
7、知数列的前项和,且,则_.【答案】【解析】【分析】由,得到关于的方程,得到的值.【详解】因为,所以,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项,属于简单题.13.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立,根据基本不等式,得到的最小值,从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立,所以问题转化对恒成立,即,因为,由基本不等式,得,当且仅当,即时取等号,所以得到.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用基本不等式求和的最小值,属于简单题.14.定义“等积数列”:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的乘积都等于同一
8、个不为零的常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是,公积为的等积数列,则_;数列的前项和_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据等积数列的定义,得到,得到为周期为的数列,从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列,公积为,所以,所以前项的和,有个,个,所以,得到当为偶数时,有个,个,所以,得到当为奇数时,所以故答案为:,.【点睛】本题考查数列的新定义,数列的周期性,属于中档题.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)已知,求证:.(2)已知,当取什么值时,的值最小?最小值是多少?【答案】(1)证
9、明见解析;(2)时,最小值是.【解析】【分析】(1)通过作差法,进行证明;(2)配凑基本不等式形式,利用基本不等式,得到和的最小值.【详解】(1)因为,所以,所以.(2)当时,当且仅当,即时,等号成立,所以当时,的值最小,最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式,根据基本不等式求和的最小值,属于简单题.16.设是等差数列,且,成等比数列.(1)求的通项公式;(2)求的前项和的最小值;(3)若是等差数列,与的公差不相等,且,问:和中除第5项外,还有序号相同且数值相等的项吗?(直接写出结论即可)【答案】(1);(2),或时,取得最小值;(3)和中除第5项外,没有序号相同且数值相等的项.【解析】【
10、分析】(1)根据等差数列的基本量和等比中项的性质,得到关于公差的方程,从而得到通项公式;(2)根据(1)所得的通项,从而得到前项的和;(3)设的通项,根据列出方程组,得到方程组无解,得到答案.【详解】(1)设等差数列的公差为,.因为,成等比数列,所以,即有,解得,则.(2)由(1)中等差数列的通项,所以的前项和,由于为自然数,可得或时,取得最小值.(3)设和中除第5项外,还有序号相同且数值相等的项,设为第项,和相同,则,设根据与的公差不相等,可知由,得,即,由和相同,得到则,即整理得,因为且,所以方程无解.故和中除第5项外,没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用,等差数列通
11、项中基本量的计算,等差数列的和的最小值,属于中档题.17.已知函数,.(1)当时,求的解集;(2)求使的的取值范围;(3)写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.(直接写出结论即可)【答案】(1);(2)当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为;(3).【解析】【分析】(1)根据解一元二次不等式,得到答案;(2)按,进行分类讨论,得到满足的的取值范围;(3)由(2)可知满足题意.【详解】(1)当时,所以不等式,即为所以解集为.(2)由,可得,即,所以当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为(3)由(2)可知,当时,恒成立,所以“函数在上的图
12、象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式,分类讨论解一元二次不等式,写出充分条件,属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是,且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当取何值时,直线与椭圆有两个公共点;只有一个公共点;没有公共点?【答案】(1);(2)时,直线与椭圆有两个公共点;或时,直线与椭圆只有一个公共点;或时,直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】(1)根据椭圆的焦点,得到,将点代入椭圆方程,得到的方程,解出的值,从而得到答案;(2)直线与椭圆联立,根据与的关系,得到关于的不等式,得到答案.【详解】(1)设椭圆的标准方程为,因为椭圆的焦点分别是,所以,将点
13、代入椭圆方程得,根据,得到,所以椭圆的标准方程为.(2)直线与椭圆联立,得,则,当,即,解得,方程有两个不同的实数根,即直线与椭圆有两个公共点;当,即,解得或,方程有两个相同的实数根,即直线与椭圆只有一个公共点;当,即,解得或,方程没有实数根,即直线与椭圆没有公共点;【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程,考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围,属于中档题.19.设是等比数列,.(1)求的通项公式;(2)求;(3)在和之间插入个数,其中,使这个数成等差数列.记插入的个数的和为,求的最大值.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)根据得到公比,再结合,得到的通项;(2)由(1)
14、得到的通项,然后根据等比数列的求和公式,得到答案;(3)根据个数成等差数列,得到,再由,从而解得的值,得到的最大值.【详解】(1)设等比数列的公比为,所以,因为,所以;(2),所以;(3)因为,所以,因为在和之间插入个数,这个数成等差数列,所以,设的第项最大,则,即,解得,所以或时,取得最大值,.【点睛】本题考查等比数列通项的求法,等比数列前项和的求法,求数列中的最大项,属于中档题.20.已知椭圆经过点,离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.(1)求椭圆长半轴长;(2)求最大值;(3)若直线分别与轴交于点,求证:的面积与的面积的乘积为定值.【答案】(1);(2);(3)证明见解析【解析
15、】【分析】(1)根据椭圆过点得到的值,结合离心率得到的值,得到答案;(2)根据椭圆的几何特点,得到与轴重合时,最大,从而得到答案;(3)根据对称性设,表示出直线、,得到、坐标,从而表示出的面积与的面积,得到面积的乘积为定值.【详解】(1)因为椭圆过点,所以,因为离心率为,所以,而,所以,所以求椭圆长半轴长为;(2)由(1)可得椭圆的标准方程为,过原点的直线与椭圆有两个不同的交点,可知当为长轴时候最长,此时.(3)由对称性可知、两点关于原点对称,所以设,则,不妨假设,则直线的方程为,令,得到,所以,同理,所以,所以而在椭圆上,所以,即,所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质,求椭圆的长轴长,直线与椭圆的关系,椭圆中的定值问题,属于中档题.