1、昌平区20122013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标
2、记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）设集合，则等于A B C D（2）“”是“直线垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件（3）已知函数，则函数的零点所在的区间是 A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4）（4）设不等式组 表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是A. B. C. D. （5）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等
3、比数列，则等于A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24 B. 36 C. 48 D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A. BC. D. （8）已知函数：，.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题是奇函数； 命题在上是增函数；命题； 命题的图像关于直线对称A命题 B命题 C命题 D命题第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 （9）若，
4、其中是虚数单位，则实数的值是_. （10）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _.（11）在中，若,，则= .（12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 (13)在中，是的中点，那么 _;若是的中点，是（包括边界）内任一点则的取值范围是_. （14）在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则 到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_; 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）已知函数.（）求的定义域
5、及最小正周期； （）求在区间上的最值. (16) （本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂903 9 65818 45 6 9 0 31 50321 0 3 规定：当产品中的此种元素含量满足18毫克时，该产品为优等品.（）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽
6、到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；（）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率（18）（本小题满分13分）已知函数（）.（）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；（）若存在，使，求a的取值范围（19）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列
7、，求；（）若中最大的项为50， 比较的大小；（）若，求函数的最小值昌平区20122013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 题 号 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案 C A B D C D B C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） 3 （12）4 （13） 2; -9,9 （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）(本小题满分13分)解：（）由得(Z)
8、，故的定义域为RZ2分因为，6分所以的最小正周期7分 （II）由 .9分 当，.11分 当.13分（16）(本小题满分14分)解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以.2分 又 所以平面.4分(II) 证明：由 所以由是正方形可知, 又 所以.8分 又 所以.9分(III)解法一： 在线段上存在点，使. 理由如下： 如图，取中点，连接. 在四棱锥中， 所以.11分 由（II）可知，而 所以， 因为 所以. 13分 故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分 解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系 由已知设，则设为线段上一点，且，则.12分由题意，若线段上存在
9、点，使，则，.所以，故在线段上存在点，使，且 14分（17）(本小题满分13分)解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为.2分 （II）的取值为0，1，2，3. 所以的分布列为 0 1 2 3 故9分 (III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为13分（18）(本小题满分13分) 解：（I） . 1分 根据题意， 3分 此时，,则. 令 -+. 6分 当时，最小值为. 7分 （II）若上单调递减.又.10分
10、 若从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减. 根据题意， . 13分 综上，的取值范围是.（19）(本小题满分13分)解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为5分（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由 消去得， 6分， 7分设点的坐标分别为，则：，8分 由于点在椭圆上，所以 . 9分 从而，化简得，经检验满足式. 10分 又点到直线的距离为： 11分 当且仅当时等号成立 12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 . 所以点到直线的距离最小值为 . 13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列， 所以， 所以 4分 (II) 一方面，根据的含义知， 故，即 ， 当且仅当时取等号.因为中最大的项为50，所以当时必有， 所以即当时，有； 当时，有 9分（III）设为中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值为. 根据题意， 下面计算的值.， ， ，最小值为. .14分
