1、高中总复习二轮文数 第2讲 解三角形 高中总复习二轮文数 热点突破高考导航备选例题阅卷评析高中总复习二轮文数 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2016全国卷,文 9)在ABC 中,B=4,BC 边上的高等于 13BC,则 sin A 等于()(A)310(B)1010 (C)55 (D)3 1010 解析:如图,设 BC 边上的高为 AD,因为 B=4,所以BAD=4.所以 BD=AD,又 AD=13BC,所以 DC=2AD,所以 sinBAC=sin(BAD+DAC)=sin 45cosDAC+cos 45sinDAC=22 55+22 2 55=3 1010.故选 D.D 高中总复
2、习二轮文数 2.(2013全国卷,文10)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()(A)10 (B)9 (C)8 (D)5 解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即 cos2A=125,又因ABC 为锐角三角形,所以 cos A=15.ABC 中由余弦定理知 72=b2+62-2b6 15,即 b2-125b-13=0,即 b=5 或 b=-135(舍去),故选 D.D 高中总复习二轮文数 3.(2016全国卷,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,
3、则b=.解析:由题 sin A=35,sin C=1213,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=35 513+45 1213=6365.则由sinaA=sinbB得 b=sinsinaBA=636535=2113.答案:455132113高中总复习二轮文数 解析:RtABC 中,CAB=45,BC=100 m,所以 AB=100 m,AC=1002 m,因为MAC=75,ACM=60,所以AMC=180-75-60=45,MAC 中,根据正弦定理sinsinACAMAMCMCA,所以 100 2sin 45=sin60AM,所以 AM=1002 32 22
4、=1003(m).RtMNA 中,MAN=60,sin 60=MNAM,所以 MN=AMsin 60=1003 32=150(m).答案:150 4.(2014全国卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN=m.高中总复习二轮文数 5.(2015全国卷,文17)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=,求ABC的面积.2解:(1)由题设
5、及正弦定理可得 b2=2ac.又 a=b,可得 b=2c,a=2c.由余弦定理可得 cos B=2222acbac=14.(2)由(1)知 b2=2ac.因为 B=90,由勾股定理得 a2+c2=b2,故 a2+c2=2ac,得 c=a=2,所以ABC 的面积为 1.高中总复习二轮文数 高考感悟 1.考查角度(1)正、余弦定理的简单应用:利用正、余弦定理解三角形;(2)求三角形的面积或以面积为依托解三角形;(3)与三角恒等变换相结合;(4)解三角形的实际应用.2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题.难度中档或偏下.高中总复习二轮文数 热点突破 剖典例促迁移 正、余弦定理的应用 热点一 考向1
6、 解三角形【例 1】(1)(2016重庆适应性测试)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且a2+b2-c2=ab=3,则ABC 的面积为()(A)34 (B)34(C)32 (D)32 解析:(1)在ABC 中,因为 a2+b2-c2=ab=3,所以 cos C=2222abcab=12,所以 sin C=21 cos C=32.所以 SABC=12absin C=123 32=34.故选 B.答案:(1)B 高中总复习二轮文数(2)(2016湖南岳阳二模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos B+bcos A=2ccos C,则角C=.解析:(
7、2)根据题意得 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,即 sin C=2sin Ccos C,易知 sin C0,故 cos C=12,所以 C=3.答案:(2)3高中总复习二轮文数 考向2 判定三角形的形状【例2】(1)(2016江西南昌三模)在ABC中,若sin2Ccos 2B+sin 2Csin 2B=0,且cos 2C+cos C=0,则ABC是()(A)直角非等腰三角形 (B)等腰非等边三角形(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 12解析:(1)因为 cos 2C+cos C=0,所以 2cos2C+cos C-1=0,C(0,),所以 cos C(-
8、1,1),解得 cos C=12,所以 C=3.又因为 sin2Ccos 2B+12sin 2Csin 2B=0,所以 34cos 2B+34 sin 2B=0,化简得 sin(2B+3)=0,因为 B(0,23),所以 2B+3=,所以 B=3,所以 A=3,所以ABC 是等边三角形.选 D.高中总复习二轮文数(2)(2016辽宁大连一模)ABC中,D为BC的中点,满足BAD+C=90,则ABC的形状是()(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形 解析:(2)因为BAD+C=90,所以CAD+B=180-(BAD+C)=90.设BAD=,B=,则C=90-
9、,CAD=90-,在ABD和ACD中,由正弦定理得sin sin=BDAD,sin(90-)sin(90-)=CDAD.又D为BC中点,所以BD=CD,所以sin sin=sin(90-)sin(90-)=cos cos,所以sin cos=sin cos,即sin 2=sin 2,所以2=2或2+2=180,所以=或+=90,所以BD=AD=CD或ADCD,所以BAC=90或AB=AC,所以ABC为直角三角形或等腰三角形.故选D.高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.(2)
10、判定三角形的形状要对所给边角关系进行转化,一般有两种途径:边化角或角化边.同时注意“解”是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.高中总复习二轮文数 热点训练 1:(2016湖南岳阳二模)已知ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果满足条件 asin Asin B+bcos2A=2 a,则 ba等于()(A)23 (B)22 (C)3 (D)2 解析:因为 asin Asin B+bcos2A=2 a,所以由正弦定理可以知道 sin2Asin B+sin Bcos2A=2 sin A,所以 sin B(sin2A+cos
11、2A)=sin B=2 sin A,所以 sinsinBA=ba=2.故选 D.高中总复习二轮文数 三角恒等变换与解三角形的综合 热点二【例 3】(2016四川广元一模)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 ab,cos2A-cos2B=3 sin Acos A-3 sin Bcos B.(1)求角 C 的大小;解:(1)因为 cos2A-cos2B=3 sin Acos A-3 sin Bcos B,所以 1cos22A-1cos22B=32 sin 2A-32 sin 2B,即 cos 2A-cos 2B=3 sin 2A-3 sin 2B,3 sin 2A-c
12、os 2A=3 sin 2B-cos 2B,sin26A=sin26B,因为ABC 中,ab,所以 AB,所以 2A-6+2B-6=,所以 A+B=23,所以 C=3.高中总复习二轮文数(2)若c=,sin A=,求ABC的面积.解:(2)由(1)知,A+B=23,因为 sin A=22,所以 A=4,B=512,sin 512=sin 46=624,因为 c=3,由正弦定理sinaA=sincC可得,a=2,所以 SABC=12acsin B=334.322高中总复习二轮文数 突破痛点 换元、消元 在本例中,若将条件式改为“ccos B-(2a-b)cos C=0”,试求角C的大小.【方法诠
13、释】解决与三角恒等变换相结合的问题,其思想是换元、消元.常用方法有:边角互化;弦切互化;统一角;特殊角.对条件式的处理以化简为主,找到关系.答案:3高中总复习二轮文数【方法技巧】关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.高中总复习二轮文数 热点训练2:(2016河南开封一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccos A,bcos B,acos C成等差数列.(1)求B;解:(1)因为ccos A,bcos B,acos C成
14、等差数列,所以2bcos B=ccos A+acos C.由正弦定理知a=2Rsin A,c=2Rsin C,b=2Rsin B,代入上式得2sin Bcos B=sin Ccos A+sin Acos C,即2sin Bcos B=sin(A+C).又A+C=-B,所以有2sin Bcos B=sin(-B),即2sin Bcos B=sin B.而sin B0,所以cos B=,结合0B,得B=.123高中总复习二轮文数(2)若a+c=,b=,求ABC的面积.解:(2)由余弦定理得 cos B=2222acbac=12,所以22()22acacbac=12,又 a+c=3 32,b=3,所
15、以 274-2ac-3=ac,即 ac=54,所以 SABC=12acsin B=12 5432=5 316.3 323高中总复习二轮文数 正、余弦定理的实际应用 热点三【例4】(2016河南六市一模)如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;高中总复习二轮文数 解:(1)依题意,有 PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在PAB 中,A
16、B=20,cosPAB=2222PAABPBPA AB=22220(12)220 xxx=3325xx,同理,在PAC 中,AC=50,cosPAC=2222PAACPCPA AC=22250250 xxx=25x.因为 cosPAB=cosPAC,所以 3325xx=25x,解得 x=31.高中总复习二轮文数(2)求P到海防警戒线AC的距离.解:(2)作 PDAC 于 D(图略),在ADP 中,由 cosPAD=2531,得 sinPAD=21 cosPAD=4 2131,所以 PD=PAsinPAD=31 4 2131=421 (千米).故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 421
17、 千米.高中总复习二轮文数【方法技巧】运用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.高中总复习二轮文数 热点训练3:(2016湖南常德模拟)为了测量一铁塔AB的高度,某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45,再由C点沿北偏东30方向走了20米后到达D点,又测得塔顶A的仰角为30,则
18、铁塔AB的高度为 米.解析:在RtABC中,ACB=45,所以BC=AB.在RtABD中,ADB=30,所以BD=AB.在BCD中,BCD=120,由余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120,所以3AB2=AB2+400-2AB20 .解得AB=20(米).312答案:20 高中总复习二轮文数 备选例题 挖内涵寻思路【例题】(2016四川绵阳质量诊断)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=acos C+csin A.(1)求角A的大小;解:(1)在ABC中,由正弦定理有,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入b=acos
19、 C+csin A中,即得2Rsin B=2Rsin Acos C+2Rsin Csin A,所以sin B=sin Acos C+sin Csin A.因为sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sin(A+C)=sin Acos C+sin Csin A,即sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+sin Csin A,整理得,cos Asin C=sin Csin A,由sin C0,可得cos A=sin A,所以A=.4高中总复习二轮文数(2)若cos B=,BC=5,=,求CD的长.35BD17 BA解:(2)在ABC 中,sin B=21 c
20、os B=45,由sinsinACBCBA,即54252AC,解得 AC=42,又因为 cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-22 35+22 45=210,所以 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=32+25-242 5210=49,所以 AB=7,于是由 BD=17BA,可得 BD=1,所以 CD2=BD2+BC2-2BDBCcos B=1+25-215 35=20,所以 CD=25.高中总复习二轮文数 阅卷评析 抓关键练规范 正、余弦定理在解三角形中的应用 评分细则:解:法一(1)由正弦定理得sinsinADBDBB
21、AD2 分 sinsinADDCCCAD,4 分 因为 AD 平分BAC,BD=2DC,所以 sinsinBC=DCBD=126 分 注:利用正弦定理所得方程每个 2 分,结论 2 分.(2015全国卷,文 17,12 分)ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC.(1)求 sinsinBC;高中总复习二轮文数 评分细则:解:(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,7 分 所以 sin C=sin(BAC+B)=32 cos B+12sin B.10 分 由(1)知 2sin B=sin C,所以 tan B=33,11 分 所以B=30.12 分 注:直接
22、写出 sin C=sin(BAC+B)也给 4 分.(2)若BAC=60,求B.高中总复习二轮文数 法二(1)由正弦定理得 sinsinBC=ACAB,2 分 又因为 AD 平分BAC,BD=2DC,所以由角平分线性质知,ACAB=DCBD=12.4 分 所以 sinsinBC=12.6 分 注:三个等式每个 2 分.(2)由(1)知,AB=2AC,在ABC中,由余弦定理可得 BC2=AC2+AB2-2ACABcos BAC=AC2+4AC2-2AC2AC=3AC2.高中总复习二轮文数 所以 BC=3 AC.8 分 所以 cos B=2222ABBCACAB BC=22243223ACACACACAC=32.11 分 又 B(0,180),所以 B=30.12 分 注:由余弦定理得出 BC 与 AC 关系得 2 分,由余弦定理的推论求出cos B 得 3 分,结论 1 分.高中总复习二轮文数【答题启示】1.解三角形问题,一般有两种途径,边化角或角化边,第(1)问合理利用正弦定理及角平分线性质是解题的关键.第(2)问注意三角形隐含条件A+B+C=180,进而转化为角的计算.2.解决本题时常会因不能合理利用正、余弦定理转化边角关系而造成失分.高中总复习二轮文数 点击进入 限时训练
