1、3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,bR),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:z1-z
2、2=(a-i)-(-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i,a=2,b=-2,z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(
3、减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(aR),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(aR)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x
4、,yR).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.解得z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i,z2=4(-1)-22-52+3(-1)i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断ABC的形状;(3)求ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i
5、-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)|=,|=,|=2,|2+|2=|2,ABC为直角三角形.(3)SABC=2=2.B组1.复数z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:复数z=x+yi(x,yR)满足|z-4i|=|z+2|,|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|,化简得x+2y=3.2x+4y2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是ABC的(
6、)A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:z为纯虚数,设z=bi(bR,且b0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.1+(b-1)2=9.b-1=2.b=12.答案:(12)i4.已知复数z=x+yi(x,yR),且|z-2|=,则的最大值为.解析:z=x+yi(x,yR),且|z-2|=,(x-2)2+y2=3
7、.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2,其中(0,),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求的值.解:(1)点A,B对应的复数分别是z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2,点A,B的坐标分别是A(sin2,1),B(-cos2,cos 2),=(-cos2,cos 2)-(sin2,1)=(-cos2-sin2,cos 2-1)= (-1,-2sin2).对应的复数z=-1+(-2sin2)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2=-,即sin2=,sin
8、 =.又(0,),sin =,=.6.若zC,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+yi,x,yR,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2ai,z2=a-i,aR,A=z|z-z1|,B=z|z-z2|2,已知AB=,求a的取值范围.解:因为z1=1+2ai,z2=a-i,|z-z1|,即|z-(1+2ai)|,|z-z2|2,即|z-(a-i)|2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若AB=,则两圆圆心距大于或等于半径和,即3,解得a-2或a.
