1、2020-2021学年度高一期末模拟卷（一）数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1空间两点，之间的距离等于（ ）ABCD2在中，已知，则角等于（ ）A30B120C60D1503设,为不重合的平面,m,n为不重
2、合的直线,则下列命题正确的是()A若,则B若,则C若,则D若,则4已知圆上有两个不同的点到直线的距离等于则的取值范围是（ ）ABCD5对于非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则的夹角为锐角6某中学有300名教师，其中初级教师60名，中级教师150名，高级教师90名.考虑采用分层抽样或系统抽样方法，从全校教师中抽取10人参加一个网络教学座谈会.采用分层抽样时，将初级教师随机编号为160，中级教师随机编号为61210，高级教师随机编号为211300；采用系统抽样时，将全校教师统一随机编号为1，2，300，并将整个编号从小到大依次均分为10组.给出下列两组样本号码：7，34，
3、61，88，115，142，169，223，250，288；26，32，90，100，138，172，188，211，254，297.则下列结论中错误的是（ ）A样本可能为分层抽样B样本可能为分层抽样C样本可能为系统抽样D样本可能为系统抽样7已知，且，则的值为（ ）A7B-7CD8已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列判断正确的是（ ）A垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；B与两条异面直线都相交的两条直线
4、异面；C平行于两个相交平面的直线，平行于这两个平面的交线D二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面10在三棱锥中，下列说法正确的有（ ）A若，则在底面的射影为外心B若，则在底面的射影为的垂心C若与底面所成的角相等，则在底面的射影为的重心D三个侧面与底面所成二面角相等，则在底面的射影为的内心11已知等边边长为点在边上，且，下列结论中正确的是（ ）ABCD12下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则的最小值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，给出下列四个结论：函数的值域是；函数为奇函数；函数的图象关于直线对称；若对任意，都有成立，则的最小值为.其中正确结论的
5、序号是_.14已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为_.15如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为_16在直角三角形中，为斜边上一动点，沿将折成一个直二面角，则，两点间的距离的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数的部分图象如图所示.（）求函数的解析式；（）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.18某工厂投资128万元，在今年初购进了一台新生产设备，并立即投入使用.预计该设备使用后，每
6、年可创收54万元，第一年的维修、保养费共8万元，从第二年起，每年的维修、保养费均比上一年增加4万元.（1）求该设备使用到第几年底开始为工厂盈利？（2）该设备使用若干年后，有两种处理方案：当年累计盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉；当年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉.问哪种处理方案较为合理，并说明理由.19在中，角，的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）如图，在边的右侧取点，使得，若，求当为何值时，四边形的面积最大，并求其最大值.20长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，制成如下所示
7、的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自 元区间的概率；（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八折.方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）.21已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围22在三角形中，是线段上一点，
8、且为线段上一点（1）已知，设，求；（2）若E为线段的中点，直线与相交于点F，求数学试题 解析版考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1空间两点，之间的距离等于（ ）ABCD【答案】B【分析】利用空间中两点间距离公式即可求
9、解.【详解】因为，所以，故选：B2在中，已知，则角等于（ ）A30B120C60D150【答案】B【分析】利用余弦定理列出关系式，将及代入求出的值,再利用余弦定理表示出，将三边长代入求出的值,即可确定出的度数【详解】,由余弦定理得: ,即,为三角形内角，.故选:.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，难度较易.3设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A若,则B若,则C若,则D若,则【答案】D【详解】对于A，,时，若 ，则，但题目中无条件 ，故A也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有 不能得到 或，故不正确对
10、于D， ，则，又，则，结论成立；故选D 4已知圆上有两个不同的点到直线的距离等于则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由圆可得圆心和半径，画图，可得，进而可得结果.【详解】由圆过定点，上有两个不同点到距离为即，的取值范围为故选：C.【点睛】关键点点睛：解决平面解析几何问题，画图分析，数形结合很关键.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.5对于非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则的夹角为锐角【答案】C【分析】选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；选项B:根据公式可以进行判断；选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个
11、进行判断；选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.【详解】解：A：若，则 ，故A错误；B：若，则，故B错误；C：非零向量，故C正确；D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误故选C【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目6某中学有300名教师，其中初级教师60名，中级教师150名，高级教师90名.考虑采用分层抽样或系统抽样方法，从全校教师中抽取10人参加一个网络教学座谈会.采用分层抽样时，将初级教师随机编号为160，中级教师随机编号为61210，高级教师随机编号为211300；采用系统抽样时，将全校教师统一随机编号为1，2，300，并
12、将整个编号从小到大依次均分为10组.给出下列两组样本号码：7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；26，32，90，100，138，172，188，211，254，297.则下列结论中错误的是（ ）A样本可能为分层抽样B样本可能为分层抽样C样本可能为系统抽样D样本可能为系统抽样【答案】C【分析】利用分层抽样比求出初，中，高级教师抽取的人数，根据根据分层抽样、系统抽样的特征即可求解.【详解】若采用分层抽样，则抽样比例为，从而初，中，高级教师抽取的人数分别为2，5，3，所以在编号160内抽取2个号码，在编号61210内抽取5个号码，在编号211300内抽取3个号码，样
13、本，都符合.若采用系统抽样，则每30个编号抽取1个号码，即在编号130，3160，6190，271300内各抽取1个号码.因为61，88都在编号6190范围内，则样本不符合，但样本符合，故选：C.7已知，且，则的值为（ ）A7B-7CD【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系可得，利用两角差的正切公式即可求解.【详解】因为，则.又，则，所以，从而，所以，故选：B.8已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用基本不等式，结合，分别求得，时函数的最小值分别为， ，-1，得到m的最大值在区间上，然后令 ，由求
14、解.【详解】当时，当且仅当，即时取等号.当时，则，当且仅当，即时取等号，此时成立.当时，则，当且仅当，即时取等号.令，则，在上单调递减，在上单调递增.令，则，解得或，即或，即或.所以当时，都有成立，故的取值范围是，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是求得，时函数的最小值，明确时，m的最大值所在区间为而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列判断正确的是（ ）A垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；B与两条异面直线都相交的两条直线异面；C平行于两个相交平面的直线，平行于这两个平面的
15、交线D二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面【答案】CD【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系即可得出结果.【详解】A，垂直于同一条直线的两条直线平行或异面或相交，故A错误；B，与两条异面直线都相交的两条直线异面或相交，故B错误；C，由线面平行的性质可得，平行于两个相交平面的直线，平行于这两个平面的交线，故C正确；D，由二面角的平面角的定义可得，二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面，故D正确.故选：CD10在三棱锥中，下列说法正确的有（ ）A若，则在底面的射影为外心B若，则在底面的射影为的垂心C若与底面所成的角相等，则在底面的射影为的重心D三个侧面与底面所成二面
16、角相等，则在底面的射影为的内心【答案】ABD【分析】利用直角三角形全等，结合点的射影，外心定义可判定A正确，C错误；结合线面垂直的判定与性质及垂心定义可判定B;根据二面角的定义，线面垂直的判定与性质，内心的定义可以判定D正确.【详解】设S在底面所在平面内的射影为O,连接OA,OB,OC.若SA=SB=SC,则RtSOA,SOB,SOC全等，所以OA=OB=OC,O为ABC的外心,故A正确；若SA,SB,SC与底面所成的角相等，即SAO=SBO=SCO，则RtSOA,SOB,SOC全等，所以OA=OB=OC,O为ABC的外心，故C错误；若SASB，SASC,SBSC，则易知SA平面SBC,故SA
17、BC，又SO平面ABC,SOBC,又SASO=S,BC平面SOA,BCOA,同理ACOB,BCOA,O为ABC的垂心，故B正确；三个侧面与底面所成二面角相等，在底面内过O作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D,E,F,连接SD,SE,SF,利用线面垂直的判定与性质易得SDBC,SEAC,SFAB,故SDO,SEO，SFO为侧面与底面所成的二面角的平面角，故SDO=SEO=SFO，故SDO,SEO,SFO全等，故OE=OE=OF,又显然O在ABC外部时不合二面角相等的意义，故O为ABC的内心，故D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查三棱锥顶点在底面内的射影位置的判定，涉及线面角，二面角，线面垂直
18、的判定与性质，三角形全等的判定与性质，属小综合题，难度一般.关键是熟练运用线面垂直的判定与性质，准确掌握线面角，二面角的概念.11已知等边边长为点在边上，且，下列结论中正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】作出图形，利用余弦定理计算出，进而可求得，并利用余弦定理求出，可计算出和，进而可判断各选项的正误.【详解】如下图所示：在中，整理得，解得，则，由余弦定理得，同理可得，所以，因此，.故选：ABD.【点睛】本题考查解三角形，根据余弦定理解三角形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则的最小值为3【答案】ACD【分析】对选项A，利用不
19、等式性质即可判断A正确；对选项B，利用特值法即可判断B错误；对选项C，利用基本不等式性质求解即可；对选项D，首先根据题意得到，从而得到，再展开利用基本不等式求解即可.【详解】对选项A，因为，所以，又因为，所以，故A正确；对选项B，因为，设，则，故B错误；对选项C，因为，所以，故C正确；对选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，取等号.故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，给出下列四个结论：函数的值域是；函数为奇函数；函数的图象关于直线对称；若对任意，都有成立，则的最小值为.其中正确结论的序号是_.【答案】【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数和
20、余弦函数的性质，分别判断即可【详解】.的值域是，结论正确；为偶函数，结论错误；当时，取最大值，结论正确；因为，分别为的最小值点和最大值点，则，结论正确.所以正确结论的序号是.故答案为：14已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为_.【答案】2【分析】由折线图写出每场比赛的分值并求，由求方差，进而可得标准差.【详解】由图知，该运动员5场比赛的得分分别为10，13，12，14，16，则平均数为，方差为，所以标准差为2.故答案为：2.15如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【详解】不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平
21、面，则为直线与所成的角，在中，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.16在直角三角形中，为斜边上一动点，沿将折成一个直二面角，则，两点间的距离的最小值为_.【答案】【分析】过点作于，连结，可证，设，利用余弦定理可求，从而可求，两点间的距离的最小值.【详解】过点作于，连结，由直二面角可得平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故.设，则
22、有，在中，由余弦定理得，在中，由勾股定理得，所以当时，取得最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：空间中最值的计算问题，往往转化为平面中几何对象的计算问题，注意利用余弦定理、正弦定理等来处理平面图形.四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数的部分图象如图所示.（）求函数的解析式；（）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.【答案】（）（）.【分析】（）直接利用函数的图象求出函数的关系式（）利用（）的结论，进一步利用函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用求出，再利用正弦
23、函数的单调性得单调区间即可【详解】（）由已知图象得，则.因为，所以.因为，所以.所以（）由题可得：向左平移得y=2cosx,横坐标再缩短到原来的倍得故因为，所以.所以的单调递减区间为.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变化，函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用，函数单调性，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18某工厂投资128万元，在今年初购进了一台新生产设备，并立即投入使用.预计该设备使用后，每年可创收54万元，第一年的维修、保养费共8万元，从第二年起，每年的维修、保养费均比上一年增加4万元.（1）求该设备使用到第几年底开始为工厂盈利？（2）该设备使用若干年后，有两
24、种处理方案：当年累计盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉；当年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉.问哪种处理方案较为合理，并说明理由.【答案】（1）第4年；（2）选择方案处理该设备较为合理，理由见解析.【分析】（1）设该设备第年的维修，保养费为万元，可得数列是等差数列，利用等差数列的前项和公式，结合一元二次不等式可得出该设备使用到开始为工厂盈利的年数；（2）利用二次函数的性质可得方案的总利润的最大值；利用基本不等式可得方案总利润的最大值，进行比较可得答案【详解】（1）设该设备第年的维修，保养费为万元，据题意，数列是首项为8，公差为4的等差数列，所以前年的维修、保养费之和（万元）.设该
25、设备使用年后的累计盈利额为万元，则.由，得，即，解得.因为，则，所以该设备使用到第4年底开始为工厂盈利.（2）因为，则当时，年累计盈利额达到最大值160万元.所以按方案处理，该设备的使用年限是12年，总利润为（万元）.因为，则当，即时，年平均盈利额达到最大值16万元.所以按方案处理，该设备的使用年限是8年，总利润为（万元）.综上分析，两个方案的总利润相等，但方案比方案要多用4年时间才能获得170万元的总利润，所以选择方案处理该设备较为合理.19在中，角，的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）如图，在边的右侧取点，使得，若，求当为何值时，四边形的面积最大，并求其最大值.【答案】（1）；（2）
26、当时，四边形的面积取得最大值.【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，求出角B；（2）设，分别求出的面积，利用三角函数求最值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，化简得.因为，所以.又，故.（2）由（1）知，且，所以为等边三角形.设，则在中，由余弦定理得，所以，四边形的面积.因为，所以.当，即时，.所以当时，四边形的面积取得最大值.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了
27、解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自 元区间的概率；（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八折.方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）.【答案】（1）（2）方案一
28、的优惠力度更大.【详解】试题分析：(1)根据频率分布直方图，可知在内抽6张，因此在内抽4张，记为，在内抽2张，记为，然后列举出从中任选2张所有的选法，在从中找到两张小票均来自的的所有情况，即可求出概率.（2）首先计算出各组频率，然后算出方案一购物的平均费用和方案二购物的平均费用，通过比较得到方案一的优惠力度更大.试题解析：（1）由直方图可知，按分层抽样在内抽6张，则内抽4张，记为，在内抽2张，记为，设两张小票均来自为事件，从中任选2张，有以下选法：共15种.其中，两张小票均来自的有，共6种，.（2）解法一：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.方案一购
29、物的平均费用为：（元）方案二购物的平均费用为：（元）.方案一的优惠力度更大.（2）解法二：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，方案一平均优惠金额为：（元）.方案二平均优惠金额为：（元）方案一的优惠力度更大.21已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（2）先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围【详解】（1）由题意，即，解方程得，.当时，即当时，解不等式，
30、得或，此时的解集为；当时，即时，解不等式，得，此时的解集为；当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为，关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根，则，由式可得，由知：存在使不等式成立，故，即，解得或.故实数的取值范围是【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解22在三角形中，是线段上一点，且为线段上一点（1）已知，设，求；（2）若E为线段的中点，直线与相交于点F，求【答案】（1）；（2）【分析】（1）运用向量的线性运算得，对比可求得，可得答案；（2）令，由B、D、F三点共线，求得，得出向量的线性表示，再由向量数量积的运算可得答案.【详解】解：（1），所以；（2），令，则，由B、D、F三点共线：，.【点睛】关键点点睛：解决向量的线性运算和数量积运算时，关键在于转化法的运用，将待求的向量转化为已知向量得以求解.
