1、1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养.2.借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 平面向量运算的坐标表示：设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，
2、y2)，则 ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(R)，aba1b1a2b2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？知识点 1 空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示 加法ab减法ab 数乘a，R数量积ab a1b1a2b2a3b3(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)1.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？提示 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的1.已知空间向量 m(1，3
3、,5)，n(2,2，4)，则 mn_，3mn_，(2m)(3n)_.(1，1,1)(5，11,19)168 mn(1，3,5)(2,2，4)(1，1,1)；3mn3(1，3,5)(2,2，4)(3，9,15)(2,2，4)(5，11,19)；(2m)(3n)(2，6,10)(6，6,12)26(6)(6)1012168.知识点 2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab_ 垂直(ab)abab0(a，b 均为非零向量)a1b1a2b2a3b30a1b1，a2b2，Ra3b3模|a|aa 夹角公式cosa，b
4、 ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a21a22a232.若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab 一定有a1b1a2b2a3b3成立吗？提示 当 b1，b2，b3 均不为 0 时，a1b1a2b2a3b3成立2.已知 a(1,0,1)，b(2，2,0)，则a，b_.60 因为 ab120(2)102，|a|120212 2，|b|2222022 2，所以 cosa，b ab|a|b|222 212，因此a，b60.知识点 3 向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1
5、)AB；(2)dAB|AB|.(a2a1，b2b1，c2c1)a2a12b2b12c2c123.已知点 A(x，y，z)，则点 A 到原点的距离是多少？提示 OA|OA|x2y2z2.3.若点 A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB _，|AB|_.(1，1，1)3 AB (1，1，1)，|AB|121212 3.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 空间向量的坐标运算【例 1】(1)若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)2b2，则 x_.(2)已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2
6、,2,3)求点 P 的坐标，使AP12(ABAC)(1)2 ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2 得 2(1x)2，解得 x2.(2)解 AB(2,6，3)，AC(4,3,1)，ABAC(6,3，4)设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)，12(ABAC)AP3，32，2，x5，y12，z0，则点 P 的坐标为5，12，0.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2，(ab)(ab)(ab)2 等(2)进行向
7、量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)(b)，既可以利用运算律把它化成2(ab)，也可以求出 2a，b 后，再求数量积；计算(ab)(ab)，既可以求出 ab，ab 后，求数量积，也可以把(ab)(ab)写成 a2b2 后计算跟进训练1已知 ab(2，2，2 3)，ab(0，2，0)，则 a_，b_，ab_.(1，2，3)(1,0，3)4 ab(2，2，2 3)，ab(0，2，0)，2a(2,2 2，2 3)，2b(2,0,2 3)，a(1，2，3)，b(1,0，3)，ab11 20 3 34.类型 2 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
8、【例 2】(1)已知 a(3,21,1)，b(1,0,2)若 ab，则 _；若 ab，则 _.(2)(对接教材 P20 例题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 E，F，G，H 分别是 CC1，BC，CD 和 A1C1 的中点求证：AB1GE，AB1EH；A1G平面 EFD(1)35 710 由 ab，得 ab3(1)20，解得 35.由 ab，得13 21，且 210，解得 15，12，所以 710.(2)证明 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(
9、1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)由中点坐标公式，得 E1，1，12，F1，12，0，G12，1，0，H12，12，1.AB1(1,0,1)，GE 12，0，12，EH 12，12，12.因为AB1 2GE，AB1 EH 112 1120，所以AB1 GE，AB1 EH，即 AB1GE，AB1EH.A1G 12，1，1，DF 1，12，0，DE 1，0，12.因为A1G DF 121200，A1G DE 120120，所以A1G DF，A1G DE，所以 A1GDF，A1GDE，因为 DFDED，所以 A1G平面 EFD1判断空间向量垂直
10、或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据 x1x2y1y2z1z2是否为 0 判断两向量是否垂直；根据 x1x2，y1y2，z1z2(R)或x1x2y1y2z1z2(x2，y2，z2 都不为 0)判断两向量是否平行 2由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可跟进训练2已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)设 aAB，bAC.(1)若|c|3，cBC，求 c；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.
11、解(1)BC(2，1,2)且 cBC，设 cBC(2，2)(R)|c|222223|3，解得 1.c(2，1,2)或 c(2,1，2)(2)aAB(1,1,0)，bAC(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得 k2 或 k52.类型 3 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题【例 3】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1D，BD 的中点，点 G 在棱 CD 上，且 CG14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量的方法求解下
12、列问题：(1)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(2)求 FH 的长解 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，则有 E0，0，12，F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0，H0，78，12.(1)EF12，12，0 0，0，12 12，12，12，C1G 0，34，0(0,1,1)0，14，1，|C1G|174.又EFC1G 1201214 12(1)38，|EF|32，cosEF，C1G EFC1G|EF|C1G|3832 174 5117.即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 5117.(2)F12，12，0，H0，78，1
13、2，FH 12，38，12，FH|FH|122382122 418.用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？提示 1根据条件建立适当的空间直角坐标系；2写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；3通过向量的坐标运算求夹角和距离.跟进训练3在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACBC1，BCA90，AA12，Q 为 A1A 的中点(1)求BQ 的长；(2)求 cosBQ，CB1，cosBA1，CB1，并比较BQ，CB1，BA1，CB1 的大小解 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,
14、1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)BQ(1，1,1)，CB1(0,1,2)，BA1(1，1,2)(1)|BQ|121212 3.(2)BQ CB1 0121，|BQ|3，|CB1|01222 5，cosBQ，CB1 13 5 1515.BA1 CB1 0143，|BA1|114 6，|CB1|5，cosBA1，CB1 36 5 3010.0 1515 3010 BA1，CB1 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b()A(2，4,2)B(2,4，2)C(2,0，2)D(2,1，3)B b(ab)a(1,2，1)(1，2,1)(
15、2,4，2)，故选 B2 1 3 4 5 2已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|29，且 0，则 等于()A5B4C3D2C ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|42122 29，且 0，解得 3.3 1 2 4 5 3已知 M(5，1,2)，A(4,2，1)，O 为坐标原点，若OM AB，则点 B 的坐标应为()A(1,3，3)B(9,1,1)C(1，3,3)D(9，1，1)B OM ABOB OA，OB OM OA(9,1,1)4 1 2 3 5 4已知 a(1，x,3)，b(2,4，y)，若 ab，则 xy_.4 由 ab 得 ab，所以12，
16、x4，3y，解得12，x2，y6，所以 xy4.2 4 5 1 3 5已知空间三点 A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则AB与CA的夹角的大小是_23 AB(2，1,3)，CA(1,3，2)，|AB|14，|CA|14，2 4 5 1 3 ABCA(2)(1)(1)33(2)7，cosAB，CA ABCA|AB|CA|714 1412，又AB，CA0，AB，CA23.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？提示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则当 b0 时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|aa a21a22a23；cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.(2)你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？提示 根据条件建立适当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
