1、模块素养检测(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.sin 600+tan(-300)的值是()A.-B.C.-+D.+【解析】选B.由题意sin 600+tan(-300)=-sin(600-540)+tan(-300+360)=-sin 60+tan 60=-+=.2.如图,a-b等于()A.2e1-4e2B.-4e1-2e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.a-b=e1-3e2.3.已知向量a,b的夹角为60,=2,=1,则=()A.B.C.2D.【解析】选B.向量a,b的夹角为60
2、,=2,=1,则=.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积来计算平面向量的模,在计算时,一般将模进行平方,利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算,考查计算能力,属于中等题.4.cos 70sin 50-cos 200sin 40的值为()A.-B.C.-D.【解题指南】根据诱导公式化简到角是锐角,再用正弦和差角公式求解.【解析】选B.cos 70sin 50-cos 200sin 40=cos sin -cos sin 40=sin 20cos 40+cos 20sin 40=sin 60=.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.5.已知a,b是不共线的向量,=a+b, =a+b
3、,R,则A,B,C三点共线的条件为()A.+=2B.-=1C.=-1D.=1【解析】选D.由A,B,C三点共线,得,设=m(m0),即a+b=ma+mb,所以所以=1.6.(2019全国卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.B.2C.5D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=.【拓展延伸】1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成
4、某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.7.(2018天津高考)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,则的值为()A.-15B.-9C.-6D.0【解析】选C.因为=2,所以=3,同理=3,=-=3-3=3,=3=3(-)=3-3()2=321cos 120-312=-6.8.已知点G是ABC内一点,满足+=0,若BAC=,=1,则|的最小值是()A.B.C.D.【解题指南】根据向量关系,利用,表示,再根据向量的模以及基本不等式求最值.【解析】选A.因为+=0,所以G是ABC的重心,
5、因此=,从而=(当且仅当=时取等号).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.函数y=sin是R上的偶函数,则的值可以是()A.B.C.D.2【解析】选A、C.由题意得sin(-)=1,即sin =1.所以可以是或.10.已知向量a与b不共线,则下列各对向量能作为平面向量的一组基底的是 ()A.2a,bB.a+b,bC.a,a-bD.a+b,-a-b【解析】选ABC.因为向量a与b不共线,则2a与b,a+b与b,a与a-b都不共线,能分别作为平面向量的一组基底,由于a+b与-a
6、-b共线,所以a+b,-a-b不能作为平面向量的一组基底.11.关于函数f(x)=sin 4-cos 4的下列叙述正确的是()A.最小正周期为,奇函数B.最小正周期为,偶函数 C.最小值为-1,最大值为1D.最小值为0,最大值为1 【解析】选AC.因为f(x)=sin 4-cos 4=sin 2-cos 2=-cos =sin 4x.所以f(x)为奇函数,T=, 最小值为-1,最大值为1.12.如图,直角ABC的斜边BC长为2,C=30,且点B,C分别在x轴,y轴正半轴上滑动,点A在线段BC的右上方.设=x+y,(x,yR),记M=,N=x+y,分别考察M,N的所有运算结果,则()A.M的最小
7、值为B.M的最大值为C.N的最小值为1+D.N的最大值为1+【解题指南】设OCB=,用表示出M,N,根据的取值范围,利用三角函数恒等变换化简M,N,进而求得M,N最值的解.【解析】选BC.依题意BCA=30,BC=2,A=90,所以AB=1,AC=.设OCB=,则ABx=120-(90-)=+30,090,所以B,A,C,所以M=2cos sin =sin +,当2+30=90,=30时,M取得最大值为1+=.因为=x+y,所以x=,y=,所以N=x+y=+=1+,当2=90,=45时,N有最小值为1+.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(201
8、9全国卷)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则=-.答案:-14.(2020武威高一检测)已知为锐角,且cos=,则tan =.【解析】由cos=,得sin =,因为是锐角,所以=60,则tan =.答案:15.已知向量a,b的夹角为,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.得4a2-4ab+b2=10,即4-41|b|+|b|2=10.解得|b|=3或|b|=-(舍去).答案:316.若x,则函数y=tan 2xtan3x的最大值为.【解析】令tan x=t,因为x1,所以y=tan 2xtan3x=-8.当且仅当=,即t=时,等号成立.答案:-8【补偿训练】如图,函数y=4sin
9、 cos 与函数y=2的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是.【解析】函数y=4sin cos =2sin 3x,图像的对称轴为直线x=,由函数图像的对称性,利用面积“割补法”,得函数y=2sin 3x图像与函数y=2的图像围成封闭图形的面积是S=2=.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a,b,c,d在同一平面内,且a=,.(1)若=2,且ca,求c.(2)若=,且,求a与b的夹角.【解析】(1)因为ca,所以c=a,则c=,又因为=2,所以=2,所以c=, 或,.(2)因为,所以=0,又因为=,=,所以a
10、b=-,cos =-1,且0180,所以=180.18.(12分)已知cos ,则sin -cos =.因为(sin +cos )2=1+2sin cos =1+=且sin +cos 0,所以sin +cos =.19.(12分)已知函数f(x)=,坐标原点为O,点An(n,f(n)(nN*),向量i=(0,1),n是向量与i的夹角,计算+的值.【解析】因为向量i=(0,1),=,n是向量与i的夹角,所以直线OAn的倾斜角为90-n,直线OAn经过点An,所以直线OAn的斜率为kn=tan (90-n)=-.所以=tan (90-n)=-所以+=-+-+-=1-=.20.(12分)已知函数f(
11、x)=sin 2x-2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值.(2)求函数f(x)的零点的集合.【解析】(1)因为f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)=2-1=2sin-1,所以当2x+=2k+,即x=k+(kZ)时,函数f(x)取得最大值1.(2)由(1)及f(x)=0,得sin=,所以2x+=2k+,或2x+=2k+,即x=k,或x=k+(kZ).故函数f(x)的零点集合为x|x=k,或x=k+,kZ.【一题多法】由f(x)=0,得2sin xcos x=2sin2x,于是sin x=0,或tan x=.由sin x=0,得x=k(kZ);由tan x
12、=,得x=k+(kZ).故函数f(x)的零点的集合为x|x=k,或x=k+,kZ.21.(12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解析】(1)f(x)=sinsin x-cos 2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)当x时,02x-,从而当02x-,即x时,f(x)单调递增,当2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.22.(12分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向
13、量,=2e1+e2,=-e1+e2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数的值.(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标.(3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.【解析】(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以解得k=-,=-.(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以=.设A(x,y),则=(3-x,5-y),因为=(-7,-2),所以解得即点A的坐标为(10,7).
