1、2016-2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=a，4，B=2，a2，且AB=4，则AB=（）A2，4B2，4C2，2，4D4，2，42下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx3若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件4函数y=lncosx（）的图象是（）ABCD5下列说法正确的是（）A
2、已知命题p：x00，2x0=3，则p是x0，2x3B“pq为假命题”是“pq为假命题”的充分不必要条件C命题“x（0，1），lnx+x2=0”是真命题D命题“xR，sinxx”是真命题6函数f（x）=（m+1）x22（m+1）x1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A1或2B1C2D07已知点P（x，y）满足，则的最大值为（）A2BCD48若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）9某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+1210若某程序框图如图所示，当输入
3、50时，则该程序运算后输出的结果是（）A8B6C4D211在ABC中，若a=2，B=60，则角A的大小为（）A30或150B60或120C30D6012在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13若锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于14已知点G是ABC的重心，若A=120，=2，则|的最小值是15已知在数列an中，an+1=，且a1=2，则an=16袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两
4、球颜色为一白一黑的概率三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn18已知椭圆： +=1（ab0）的一个焦点为，且上一点到其两焦点的距离之和为4（）求椭圆的标准方程；（）设直线y=x+m与椭圆交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|=|，求实数m的值19如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC（1）求证：BE
5、面ABC；（2）设ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值20某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，200），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在240，260）的用户中应抽取多少户？21已知锐角三角形ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c（）求A的大小；（）求cosB+cos
6、C的取值范围22已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积2016-2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=a，4，B=2，a2，且AB=4，则AB=（）A2，4B2，4C2，2，4D4，2，4【考点】并集及其运算【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=
7、4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集【解答】解：集合A=a，4，B=2，a2，且AB=4，a2=4，解得：a=2或a=2，当a=2时，A=2，4，B=2，4，不合题意，舍去；当a=2时，A=2，4，B=2，4，则AB=2，2，4故选：C2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（x）=sinx，是奇函数；对于D，cos
8、（x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”由奇函数的定义可知f（0）=f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0【解答】解：若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”由奇函数的定义可知f（0）=f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“
9、f（x）为奇函数”的必要非充分条件故选B4函数y=lncosx（）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项从而得以解决【解答】解：cos（x）=cosx，是偶函数，可排除B、D，由cosx1lncosx0排除C，故选A5下列说法正确的是（）A已知命题p：x00，2x0=3，则p是x0，2x3B“pq为假命题”是“pq为假命题”的充分不必要条件C命题“x（0，1），lnx+x2=0”是真命题D命题“xR，sinxx”是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出特称命题的否定判断A；由复合命题的真假判断判断B；利用
10、函数零点判定定理判断C；举例说明D错误【解答】解：命题p：x00，2x0=3，则p是x0，2x3，故A错误；由pq为假命题，可知p、q中至少一个为假命题，则pq可能为真命题；反之，pq为假命题，可知p、q均为假命题，则pq为假命题“pq为假命题”是“pq为假命题”的必要不充分条件，故B错误；令f（x）=lnx+x2，f（x）=0在（0，1）上恒成立，f（x）=lnx+x2在（0，1）上为增函数，又f（1）=10，当x0且趋于0时，f（x）0f（x）在（0，1）上有零点，即命题“x（0，1），lnx+x2=0”是真命题，故C正确；当x=0时，sin0=0，命题“xR，sinxx”是假命题，故D错
11、误故选：C6函数f（x）=（m+1）x22（m+1）x1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A1或2B1C2D0【考点】二次函数的性质【分析】当m=1时，f（x）=1，与x轴没有交点，当m1时，=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得即可【解答】解：函数f（x）=（m+1）x22（m+1）x1的图象与x轴只有一个交点，当m=1时，f（x）=1，与x轴没有交点，当m1时，=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得，m=2，故选：C7已知点P（x，y）满足，则的最大值为（）A2BCD4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】
12、解：设k=，则k的几何意义是动点P（x，y）到定点D（1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象可知，AD的斜率最大，由，解得，即A（1，3），此时AD的斜率k=，故选：C8若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）【考点】椭圆的定义【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围【解答】解：方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆故0k1故选D9某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【考点】由三视图求面积、体
13、积【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B10若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是（）A8B6C4D2【考点】程序框图【分析】因为n=50，由程序框图写出每次循环S，i的值，判断当Sn时，退出循环，即可求得输出i的值【解答】解：由程序框图知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，Sn，继续执行循环；S=4，i
14、=3，Sn，继续执行循环；S=11，i=4，Sn，继续执行循环；S=26，i=5，Sn，继续执行循环；S=57，i=6，此时Sn，退出循环，输出i的值为6；故答案为：B11在ABC中，若a=2，B=60，则角A的大小为（）A30或150B60或120C30D60【考点】正弦定理【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角得到A小于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：a=2，b=2，B=60，由正弦定理=得：sinA=，又ab，AB，则A=30故选C12在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定
15、是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【考点】两角和与差的正弦函数【分析】在ABC中，总有A+B+C=，利用此关系式将题中：“2cosBsinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题【解答】解析：2cosBsinA=sinC=sin（A+B）sin（AB）=0，又B、A为三角形的内角，A=B答案：C二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13若锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7【考点】余弦定理的应用【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC【解答】解：因为锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，
16、所以，所以sinA=，所以A=60，所以cosA=，所以BC=7故答案为：714已知点G是ABC的重心，若A=120，=2，则|的最小值是【考点】向量的模；三角形五心【分析】根据点G是ABC的重心，故=（+），又由A=120，=2，我们可以求出|=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到|的最小值【解答】解：A=120，=2，|=4，又点G是ABC的重心，|=|+|=故答案为：15已知在数列an中，an+1=，且a1=2，则an=【考点】数列递推式【分析】利用累积法进行求解【解答】解：（1）a1=4，an+1=，则=， =， =，=，两式相乘得=，则an=2=故答案为：16袋中共
17、有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】用列举法求得所有的情况共有15种，其中满足两球颜色为一白一黑的有6种，由此求得取得两球颜色为一白一黑的概率【解答】解：1个红球，2个白球和3个黑球记为a1；b1，b2；c1，c2，c3 ，从袋中任取两球有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3） 共1
18、5种情况，故满足两球颜色为一白一黑有6种，故所求事件的概率等于三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求bn的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列an的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列cn的前n项和Sn【解答】解：（1）设a
19、n的公差为d，bn的公比为q由=54，得，从而q=3因此又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，a2=8从而d=a2a1=6，故an=a1+（n1）6=6n4（2）令两式相减得=（3n2）3n=，又18已知椭圆： +=1（ab0）的一个焦点为，且上一点到其两焦点的距离之和为4（）求椭圆的标准方程；（）设直线y=x+m与椭圆交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|=|，求实数m的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆： +=1（ab0）的一个焦点为，且上一点到其两焦点的距离之和为4，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；（）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标
20、，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论【解答】解：（）椭圆： +=1（ab0）的一个焦点为，且上一点到其两焦点的距离之和为4，a=2故b=1故椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+8mx+4（m21）=0，由0得，得，故AB的中点因为PMAB，所以，得满足条件 19如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC（1）求证：BE面ABC；（2）设ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用底面是矩形得到B
21、EBC，结合侧面ABC底面BCDE得到所证；（2）利用（1）的结论，取AB的中点H，连接EH利用ABC为等边三角形得到CEH是直线CE与平面ABE所成角【解答】（1）证明：底面BCDE为矩形，BEBC侧面ABC底面BCDE，且交线为BC，BE平面ABCDBE面ABC（2）解：由（1）可知BE面ABCBE平面ABE平面ABE底面ABC，且交线为AB取AB的中点H，连接EHABC为等边三角形，CHAB，CH平面ABECEH是直线CE与平面ABE所成角在矩形BCDE中， 在正ABC中，20某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，200），220，2
22、40），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在240，260）的用户中应抽取多少户？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）根据累积频率为1，求出x，进而可得月平均用电量的众数和中位数；（2）根据分层抽样的等比例性质，计算出抽样比，可得答案【解答】解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.00
23、25）20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075月平均用电量的众数是因为（0.002+0.0095+0.011）20=0.450.5，所以月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220=0.5）得a=224所以月平均用电量的中位数是224（2）月平均用电量为220，240）的用户有0.012520100=25户，月平均用电量为240，260）的用户有0.007520100=15户，月平均用电量为260，280）的用户有0.00520100=10户，月平均用电量为280，300）的用户有0.002
24、520100=5户，抽取比例：，所以月平均用电量在240，260）的用户应抽取户21已知锐角三角形ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c（）求A的大小；（）求cosB+cosC的取值范围【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域【分析】（）由余弦定理表示出b2+c2a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（）由三角形为锐角三角形且由（）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的
25、三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围【解答】解：（）由余弦定理知，b2+c2a2=2bccosA，；（）ABC为锐角三角形，且，=，即cosB+cosC的取值范围是22已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积【考点】轨迹方程；三角形的面积公式【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数
26、量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ONPM求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案【解答】解：（1）由圆C：x2+y28y=0，得x2+（y4）2=16，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）=0整理得：（x1）2+（y3）2=2M的轨迹方程是（x1）2+（y3）2=2（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON=3，直线l的斜率为直线PM的方程为，即x+3y8=0则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|=2017年1月18日
