1、化归与转化思想及方法选粹 化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法
2、实现化归与转化例1 已知那么（ ） 分析：已知不等式两边都含有两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为，即.设因为函数均为上的增函数,所以是上的增函数. 不等式即,故选.2.转换变量实现化归与转化例2设,若在上变化时,恒取正值,求的取值范围.分析:本题中,如果把看作的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于在上变化,所以如果转换思维角度,把看作的函数,则就是关于的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于的函数，当自变量在上变化时，恒大于
3、零，求字母的取值范围.从而有以下简捷解法.解:设则为一次函数或常数函数.当时,恒成立,则即,解得或或,所以的取值范围是3.用换元法实现化归与转化例3已知求函数最小值.分析:把函数展开后,可以观察到该函数是关于的三角函数式,因此可以把看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题.解:设,则而 所以（1）若时，当（2）若时，在上单调递减，（3）若，在上单调递增，.4用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式的解集中只有三个整数解,求实数的取值范围.分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数 的大致图1 图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 ,
4、而且满足的图像在轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为，而不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出（）的大致图像图像,如图所示.从图中看到,要使不等式的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是.所以即解得这就是实数的取值范围.5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式对一切成立,则的最小值为 .分析:要求的最小值,需要求出的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于的函数关系式.通过求
5、函数式的值域或范围,可以求得字母的取值范围.解:因为,所以可以把不等式化为:.设, .因为在时单调递减,所以.要使不等式对一切成立,则,所以的最小值为.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|点在内,且.设,则( ) 解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把两边平方后，得到关系式，从中求出,比较繁琐.现在如果把特殊化,如取则.由得,所以,则,由此判断选择支错误,故正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数， （I）令，求函数在处的切线方程； （）若在上单调递增，求的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I）中,把代入函数的解析式后,再求函
6、数的导数,得在处的切线斜率,最后写出方程.在（）中,先求函数的导函数,再令在上恒成立,求得的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一.解:（I）由 切线的斜率切点坐标（2，5+）， 所求切线方程为,即 （）若函数为上单调增函数， 则在上恒成立，即不等式在上恒成立 也即在上恒成立.令上述问题等价于 而为在上的减函数， 则于是为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列的前项和,求数列的通项.分析:数列的前项和已知,根据前项和定义得,当时,把数列的前项和问题转化为数列的通项问题. 这
7、是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为,所以当时, ,又当时,所以.9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: , ,至少有一个方程有实数根,求实数的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得的范围后,再在上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有，解（1）得：解（2）得：解（3）得：所以三个方程均无实数解时因此三个方程至少有
8、一个实数解时的取值范围是.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点,如果两两互相垂直，如图2所示,且那么这个球面的面积是( ) PCBAD图3 PABC图2解析:本题若只从题设条件入手,不易确定与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. 看作正方体顶点处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体问题.所以球的半径,球的表面积.故选.化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
