1、北师大附属实验中学高二10月考不等式、数列阶段测试一、选择题（题5分，共45分）1. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】A.取判断；B. 取判断；C.取判断；D. 根据在R上是增函数判断.【详解】A.当时， ，故错误；B. 当时， ，故错误；C. 当时， ，故错误；D. 且在R上是增函数，所以，故正确；故选：D2. 等差数列中，则的值为（ ）A. 99B. 100C. 101D. 102【答案】A【解析】【分析】由题意求出等差数列的通项公式，即可求出的值.【详解】由题意知：等差数列，首项，公差，所以，所以，故选：A3. 在等比数列中，则项数n
2、为（ ）A. 5B. 6C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在等比数列中，所以，解得.故选：B.4. 已知集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式化简集合，根据交集的概念进行运算可得解.【详解】由得，即，解得或，所以或，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：正确解出分式不等式是解题关键，属于基础题.5. 已知，则的（ ）A. 最小值为2B. 最大值为2C. 最小值为4D. 最大值为4【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由展开后，利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为，所以
3、，当且仅当，即时，等号成立.即有最小值，无最大值.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6. 一个等差数列的前项和为，前项和为24，则前项和为（ ）A. 40B. 48C. 56D. 72【答案】B【解析】【分析】记等差数列的前项和为，根据等差数列前项和
4、的性质，得到，也成等差数列，由此列出方程，即可得出结果.【详解】记等差数列的前项和为，根据题中条件，得到，由等差数列前项和的性质，得到，也成等差数列，所以，即，解得.故选：B.7. 设等差数列的前n项和为，若，则必定有A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】【详解】由可得则由前n项和公式可得，故选：A8. 已知，则且是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】当且时，由基本不等式可得：，当时，即恒成立，则，又因为，所以则且，所以，则且是的充要条件，故选：A9. 若数列
5、的前n项和为，则下列命题中，正确的是（ ）A. 若数列是递增数列，则数列也是递增数列B. 若数列是递增数列，则数列的各项均为正数C. 若是等差数列，且存在，则D. 若等比数列，且存在，则【答案】C【解析】【分析】A.利用举反例法判断；B.利用举反例法判断；C.根据是等差数列，由判断；D.根据等比数列的特性判断；【详解】A.如数列是递增数列，而不是递增数列，故错误；B. 如是递增数列，而，故错误；C.若是等差数列，存在，则，故正确；D.若是等比数列，由等比数列没有零项，故错误；故选：C二、填空题（每题5分，共25分）10. 已知是等差数列，则_.【答案】30【解析】【分析】根据是等差数列，利用等
6、差数列的性质，由代入前n项和公式求解.【详解】已知是等差数列，所以，所以故答案为：3011. 与的等比中项是_.【答案】【解析】【分析】利用等比数列定义即可求解.【详解】设与的等比中项是，则，即，解得：，故答案为：12. 设等差数列，且，成等比数列，则通项公式为_.【答案】或【解析】【分析】根据，成等比数列，得到，然后求得，再利用等差数列的通项公式求解.【详解】因为，成等比数列，所以，又，公差为d，所以，解得或，所以通项公式为或故答案为：或13. 函数的最大值是_，取得最大值时_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题中条件，结合基本不等式，即可求出函数的最值.【详解】当时，当且
7、仅当，即时，等号成立；当时，当时，综上，函数的最大值是，取得最大值时.故答案为：；.14. 设数列中，则_，数列前n项的和_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用递推公式即可求的值，利用并项求和可求.【详解】令得，可得，令得，可得，令得，可得，令得，可得，由可得：，.,以上个式子累乘得：， 当时，所以此时当时，所以此时当时，所以此时，当时，所以此时，所以，故答案： ，【点睛】方法点睛：对于数列的通项中含有 的情况要分是奇数和偶数，采用奇偶并项求和，但该题目是由于两项正数两项负数，需要分，四类.三、解答题（共30分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知等差数列中，数
8、列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明是等比数列，并求前n项的和；（3）记数列前n项的乘积为，若成立，直接写出m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）或且【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式列式可解得基本量和，即可写出等差数列的通项公式；（2）直接利用等比数列的前项和公式可得结果；（3）求出和后解不等式可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.（2）,所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（3）,所以等价于，即，整理得，解得或，所以或且.【点睛】方法点睛：证明等比数列的常用方法有：一、定义法：若，且为常数，则数列为等比数列；二、等比中项法：
9、若，则数列为等比数列.16. 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元，该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如图所示（图中的3个点在同一条直线上）.（1）求；（2）求引进这种设备后，该公司所获总利润的最大值；（3）求该公司的年平均获利的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由图可知，数列构成等差数列，求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）设该公司所获总利润与年数的关系为，由（1）结合题中条件，得到，结合的取值，即可得出最大值；（3）年平均获利为，由基本不等式，即可求出最值.【详解】（1）由题意知，数列构成等差数列，且，则公
10、差，所以；（2）设该公司所获总利润与年数的关系为，则：，当且仅当时，取得最大值，即引进这种设备后，该公司所获总利润的最大值为；（3）由（2）可得，年年平均获利为当且仅当时，年年平均获利最大，所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大，为.【点睛】方法点睛：对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域；与数列
11、综合的题，要注意为整数的易错点.17. 已知关于x的函数.（1）如果不等式恒成立，求a的取值范围；（2）若在区间中恰有一个整数x满足不等式，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式恒成立，分当，和，根据二次函数的性质，利用判别式求解.（2）将不等式转化为，再利用一元二次不等式的解法，分，和五种情况讨论求解.【详解】（1）函数，因为不等式恒成立，当时，恒成立,当时，解得，当时，函数开口向下，不等式不恒成立，,所以a的取值范围是.（2）不等式，即为，则，当时，解得，符合在区间中恰有一个整数x满足不等式，当时，解得，符合在区间中恰有一个整数x满足不等式，当时，当时，解
12、得或，因为在中恰有一个整数1满足不等式，则 解得；当时，解得，不符合在中恰有一个整数x满足不等式，当时，解得或，因为在中恰有一个整数3满足不等式，则解得 ，综上：a的取值范围是【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：一般比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集【A+、P班附加题】18. 在各项均为正数的数列中，设，已知，.（
13、1）设，证明数列是等比数列；（2）求通项.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）先由题中条件，求出；再由，得到，两式作差整理，得到，再由，得出，求解，即可结合题中条件，证明结论成立；（2）由（1）的结果，得到，再由，即可求解数列的通项.【详解】（1）由题意，当时，即，解得，又为各项都是正数的数列，所以；当时，则，即，即，即，又，所以，整理得，解得或，又因为为各项均为正数的数列的前项和，所以随的增大而增大，则为递减数列，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，当时，因为也满足上式，所以.【点睛】方法点睛：证明数列为等比数列的方法：一般根据等比数列的定义，证明数列的第项与第项之比为非零常数即可；当然有时要注意的取值情况；该类题目涉及构造法求数列通项.
