1、广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合A=1，2z2，zi，B=2，4，i为虚数单位，若AB=2，则纯虚数z为（）AiBiC2iD2i2（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），则k的值为（）A6B7C8D93（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A2B1CD4（5分）以下说法错误的是（）A“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定是
2、“xR，x2+13x”5（5分）已知x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或16（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A100（3+）cm2B200（3+）cm2C300（3+）cm2D300cm27（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成0，5），5，10），10，15），15，20），20，25），25，30），30，35），
3、35，40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）ABCD8（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）Af（x）=（x1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称Bf（x）=2x11，T将函数f（x）的图象关于x轴对称Cf（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称D，T将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题（共5小题）9（5分）不等式|x1|x1的解集为10（5分）已知等差数列an满足a2+a4+a20
4、12+a2014=8，且Sn是该数列的前n和，则S2015=11（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走法12（5分）如图，在ABC中，B=，点D在BC上，cosADC=，则cosBAD=13（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S的取值范围是三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为四、几何证明选做题（满分0分）15如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已
5、知BPA=30，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于五、解答题（共6小题）16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（2015）=3（1）求A的值（2）指出函数f（x）在x0，8上的单调区间（不要求过程）（3）若f（1）+f（+1）=，a0，求cos2a17（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星
6、S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率以此样本估计总体，试解决以下问题（）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望18（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA面ABC，BAC=120，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MNAB（2）求二面角PANM的余弦值19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意nN+都有2Snnan+1=0，数列bn满足bn=，T（n
7、）是数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+T（n1）=nT（n）（3）设An=+，试证：An20（14分）已知a0，且a1函数f（x）=loga（1ax）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1ef（x）（x2m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值21（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y
8、2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合A=1，2z2，zi，B=2，4，i为虚数单位，若AB=2，则纯虚数z为（）AiBiC2iD2i考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据A，B，以及A与B的交集，得到元素2属于A，列出关于z的方程，求出方程的解即可确定出z解答：解：A=1，2z2，zi，B=2，4，且AB=2，2z2=2或zi=2，解得：z=1（不合题意，舍去）或z=2i，则纯虚数z为2i故选：D点评：此题考查了交
9、集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），则k的值为（）A6B7C8D9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据正态曲线关于x=5对称，得到两个概率相等的区间关于x=5对称，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），k=7，故选B点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=5对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题3（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为
10、（）A2B1CD考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离解答：解：抛物线y=x2可知焦点F（0，1），准线方程y=1，焦点到准线的距离是1+1=2故选：A点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属基础题4（5分）以下说法错误的是（）A“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”考点：命题
11、的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A“log3alog3b”ab0“（）a（）b，即可判断出；B，=0R，使sin（+）=sin+sin；Cm=1R，使f（x）=x3在（0，+）上单调递增；D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，即可判断出解答：解：A“log3alog3b”ab0“（）a（）b，因此“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件，正确；B，=0R，使sin（+）=sin+sin，正确Cm=1R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+）上单调递增，正确；D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，因此不正确故选：D点评
12、：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题5（5分）已知x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，
13、则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义6（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A100（3+）cm2B200（3+）cm2C300（
14、3+）cm2D300cm2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积解答：解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为1010=100，与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直
15、的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50，故此四棱锥的表面积为S=100（3+）cm2故选：A点评：考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的力度7（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成
16、0，5），5，10），10，15），15，20），20，25），25，30），30，35），35，40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）ABCD考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论解答：解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为200.015=1个，0，5）的频数为200.015=1个，5，10）的频数为200.015=1个，10，15）频数为200.045=4个，15，20）频数为200.025=2个，20，25）频数为200.045=4个，25，30）频数为200.035=3个，30，35）频数为200.035=3个，
17、35，40频数为200.025=2个，则对应的茎叶图为A，故选：A点评：本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础8（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）Af（x）=（x1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称Bf（x）=2x11，T将函数f（x）的图象关于x轴对称Cf（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称D，T将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称考点：函数的图象 专题
18、：计算题；新定义分析：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x11，其值域为（1，+），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=2x1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，得到的函数解析式是2y=2（2x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为1，1，从而得出答案解答：解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；
19、对于B：f（x）=2x11，其值域为（1，+），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=2x1+1，值域为（1，+），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，得到的函数解析式是2y=2（2x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为1，1，故T属于f（x）的同值变换；故选B点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题二、填空
20、题（共5小题）9（5分）不等式|x1|x1的解集为（，1）考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：通过|x1|x1可知x1为负数，计算即可解答：解：|x1|x1，x10，x1，故答案为：（，1）点评：本题考查求解绝对值不等式，去掉绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题10（5分）已知等差数列an满足a2+a4+a2012+a2014=8，且Sn是该数列的前n和，则S2015=4030考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：等差数列an满足a2+a4+a2012+a2014=8，可得2（a1+a2015）=8，再利用等差数列的前n项和公式即可得出解
21、答：解：等差数列an满足a2+a4+a2012+a2014=8，2（a1+a2015）=8，解得a1+a2015=4S2015=4030故答案为：4030点评：本题考查了等差数列的性质与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有400种不同走法考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：分两步，从甲到丙由45=20种，从丙到甲由45=20种，根据分步计数原理可得答案解答：解：分两步，从甲到丙由45=20种，从丙到甲由45=20种，根据分步计数原理得，由甲地经
22、乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有2020=400种，故答案为：400点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题12（5分）如图，在ABC中，B=，点D在BC上，cosADC=，则cosBAD=考点：余弦定理 专题：三角函数的求值分析：根据三角形边角之间的关系，结合两角差的余弦函数公式可得到结论解答：解：（1）在ABC中，cosADC=，sinADC=，则cosBAD=cos（ADCB）=cosADCcosB+sinADCsinB=故答案为：点评：本题主要考查解三角形的应用，利用两角差的余弦函数公式是解决本题本题的关键，难度不大，属于基础题13（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2
23、，2，则输出的S的取值范围是3，6考点：循环结构 专题：函数的性质及应用；算法和程序框图分析：根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论解答：解：若0t2，则不满足条件输出S=t33，0，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+1（1，9，此时不满足条件，输出S=t3（2，6，综上：S=t33，6，故答案为：3，6点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为考点：简单
24、曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：将直线cos+sin=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解解答：解：x=cos，y=sin，代入直线cos+sin=0，可得x+y=0，在极坐标系中，定点A（2，），在直角坐标系中，定点A（0，2），动点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，kAB=，设直线AB为：y+2=x，即y=x2，联立方程求得交点B（，），=1，tan=，=故答案为点评：此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：=，tan=，x=c
25、os，y=sin四、几何证明选做题（满分0分）15如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知BPA=30，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于7考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：连AO并延长，根据切线的性质定理得到RtPAD，根据切割线定理得到PA2=PCPB，根据相交弦定理得到CDDB=ADDE，最后即可解得圆O的半径解答：解：如图，连AO并延长，交圆O与另一点E，交割线PCB于点D，则RtPAD中，由DPA=30，得AD=2，PD=4，而PC=1，故CD=3，由切割线定理，得PA2=PCPB，即，则PB=12，故DB=8设圆O的半径为R，由相交弦定
26、理，CDDB=ADDE，即38=2（2R2），得R=7；故答案为7点评：本小题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理属于基础题五、解答题（共6小题）16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（2015）=3（1）求A的值（2）指出函数f（x）在x0，8上的单调区间（不要求过程）（3）若f（1）+f（+1）=，a0，求cos2a考点：二倍角的余弦；复合三角函数的单调性 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由题意及诱导公式可得sin（）=Asin（）=Asin=A，即可解得A；（2）由正弦函数的性质即可求得函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间；（3）由诱导公式化
27、简已知等式可得sin，0，从而可求sin2，结合范围0，sin0，可求2范围，利用同角三角函数关系式即可得解解答：解：（1）由题意，f（2015）=Asin（+）=Asin（）=Asin（）=Asin=A，解得：A=3（4分）（2）函数f（x）的单调递增区间为0，1，5，8，单调递减区间为1，5（6分）（3）f（1）+f（+1）=3sin（1）+3sin（+1）+=3sin+3sin（）=3sin+3cos=，sin，0，由（sin+cos）2=可得：2sincos=，即sin2=，又0，sin0，2，cos20，由sin22+cos22=1可解得：cos2=（12分）点评：本题主要考查了复合
28、三角函数的单调性，二倍角的余弦公式，诱导公式，同角三角函数关系式以及三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查17（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率以此样本估计总体，试解决以下问题
29、（）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型 专题：概率与统计分析：（1）随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1求得P（A）（2）由分期付款的期数得出利润的概率求得分布列解答：解：（1）由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1所以P（A）=（2）由因为35+25+a+10+b=100，所以b=15（2）记分期付款的期数为，依题意得P（=1）=0.35，P（=2）=0.25P（=3）=0.15，P（=4）=0.1，P（=5）=
30、0.15因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元并且易知P（X=1000）=P（=1）=0.35P（X=1500）=P（=2）+P（=3）=0.4P（X=2000）=P（=4）+P（=5）=0.1+0.15=0.25所以X得分布列X100015002000P0.350.40.25所以X得数学期望E（X）=10000.35+15000.4+20000.25=1450点评：主要考察随机变量的期望和方差，属于基础题型，在2015届高考中属于常见题型18（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA面ABC，BAC=120，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：
31、MNAB（2）求二面角PANM的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质 专题：空间向量及应用分析：（1）以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得和的坐标，证数量积为0即可；（2）平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），待定系数可得平面AMN的法向量，计算向量的夹角余弦值即可得到二面角PANM的余弦值解答：解：（1）由题意可得BAN=30，NAC=12030=90，以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（，0），M（，），N（，0，0），=（，0），=（，），=0，MNAB（2）由（1）知P（0，0，1）
32、，C（0，1，0），=（，），=（，0，0），平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，故可取量=（0，2，1），cos，=二面角PANM的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及二面角的求解，属中档题19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意nN+都有2Snnan+1=0，数列bn满足bn=，T（n）是数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+T（n1）=nT（n）（3）设An=+，试证：An考点：数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数
33、学归纳法分析：（1）根据数列中an与前n项和为Sn的关系，化简2Snnan+1=0得到，利用累积法求出数列an的通项公式；（2）由（1）求出bn，再利用数学归纳法证明结论即可；（3）由（1）可得，利用放缩法可得，即可证明左边不等式成立，再利用基本不等式得：，即可证明右边不等式成立解答：解：（1）由题意得，当n=1时，2S1na2=0，则a2=2S1=2a1=21分，由2Snnan+1=0得， 2Sn+1nan+2=0，2分两式相减得：2an+1（n+1）an+2+nan+1=0，即，又，所以对于任意nN+都有3分所以an=，即对于任意nN+都有an=n5分；证明：（2）由（1）知，bn=，用数
34、学归纳法证明如下：当n=2时，左边=2+T（1）=2+b1=2+1=3，右边=2T（2）（1+）=3=左边，所以n=2时结论成立6分，假设n=k（k3）时结论成立，则k+T（1）+T（2）+T（3）+T（k1）=kT（k）7分那么当n=k+1时，k+1+T（1）+T（2）+T（3）+T（k1）+T（k）=kT（k）+T（k）+1=（k+1）T（k）+1=（k+1）T（k+1）9分综上，当n2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+T（n1）=nT（n）成立10分（3）由（1）知，先证左边的式子：由于，所以1+2+3+n=12分，再证右边的式子：由于，所以1+2+3+n+=14分综上，对于任意nN
35、+都有An点评：本题考查数列中an与前n项和为Sn的关系，累积法求数列的通项公式，以及数学归纳法、放缩法、基本不等式的在数列中应用，综合强，属于难题20（14分）已知a0，且a1函数f（x）=loga（1ax）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1ef（x）（x2m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值考点：利用导数研究函数的极值 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减（2
36、）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值解答：解：（1）由题意知，1ax0所以当0a1时，f（x）的定义域是（0，+），a1时，f（x）的定义域是（，0），f（x）=当0a1时，x（0，+），因为ax10，ax0，故f（x）0，所以f（x）是减函数当a1时，x（，0），因为ax10，ax0，故f（x）0，所以f（x）是减函数；（2）h（x）=ex（x2m+1）（x0），所以h（x）=ex（x2+2xm+1），令h（x）=0，即x2+2xm+1=0，由题意应有0，即m0当m=0时，h（x）=0有实根x=1，在x=1
37、点左右两侧均有h（x）0，故h（x）无极值当0m1时，h（x）=0有两个实根x1=1，x2=1+当x变化时，h（x）的变化情况如下表： x（，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，0）h（x）+0 0 + h（x） 递增极大值 递减 极小值 递增 h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1）当m1时，h（x）=0在定义域内有一个实根x=1同上可得h（x）的极大值为（1+）综上所述，m（0，+）时，函数h（x）有极值当0m1时，h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1）当m1时，h（x）的极大值为（1+）点评：本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的
38、极值；在含参数的函数中需要分类讨论21（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆C：+=1（ab0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的离心率及其标准方程；（）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜
39、率是否存在，都有l1，l2垂直即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径解答：解：（1）由题意，a=，c=，b=1，e=，椭圆的方程为；（2）证明：当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1），（，1），此时l2为y=1（或y=1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（xx0）+y0，代入椭圆方程得（1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）23=0由=0化简整理得（3x02）t2+2x0y0t+1y02=0，x02+y02=4，有（3x02）t2+2x0y0t+x023=0设l1，l2的斜率分别为t1，t2，l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+x023=0，t1t2=1，即l1，l2垂直综合知：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，线段MN的长为定值点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题
